Ermakov – Lewisův invariant - Ermakov–Lewis invariant

Mnoho kvantově mechanických Hamiltonians jsou závislé na čase. Metody řešení problémů tam, kde existuje výslovná časová závislost, jsou dnes otevřeným tématem. Je důležité hledat konstanty pohybu nebo invarianty pro problémy tohoto druhu. Pro (časově závislé) harmonický oscilátor je možné napsat několik invariantů, mezi nimi i Ermakov – Lewisův invariant, který je vyvinut níže.

The čas závislý harmonický oscilátor Hamiltonian čte

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {1} {2}} left [{ hat {p}} ^ {2} + Omega ^ {2} (t) { hat {q }} ^ {2} vpravo].}$

Je dobře známo, že neměnný pro tento typ interakce má formu

${ displaystyle { hat {I}} = { frac {1} {2}} left [ left ({ frac { hat {q}} { rho}} right) ^ {2} + ( rho { hat {p}} - { dot { rho}} { hat {q}}) ^ {2} right],}$

kde ${ displaystyle rho}$ dodržuje Ermakovovu rovnici^[1]

${ displaystyle { ddot { rho}} + Omega ^ {2} rho = rho ^ {- 3}.}$

Výše uvedený invariant je takzvaný Ermakov – Lewisův invariant.^[2] Je snadné to ukázat ${ displaystyle { hat {I}}}$ může souviset s časově nezávislým harmonickým oscilátorem Hamiltonian přes a unitární transformace formy ^[3]

${ displaystyle { hat {T}} = e ^ {i { frac { ln rho} {2}} ({ hat {q}} { hat {p}} + { hat {p} } { hat {q}})} e ^ {- i { frac { dot { rho}} {2 rho}} { hat {q}} ^ {2}} = e ^ {i { frac { ln rho} {2}} { frac {d { hat {q}} ^ {2}} {dt}}} e ^ {- i { frac {{ hat {q}} ^ {2}} {2}} { frac {d ln rho} {dt}}},}$

tak jako

${ displaystyle { frac {1} {2}} left [{ hat {p}} ^ {2} + { hat {q}} ^ {2} right] = { hat {T}} { hat {I}} { hat {T}} ^ { dagger}.}$

To umožňuje snadnou formu vyjádření řešení Schrödingerova rovnice pro časově závislé Hamiltonian.

První exponenciální v transformaci je tzv operátor squeeze.

Tento přístup může umožnit zjednodušit problémy, jako je Quadrupole ion trap, kde je ion zachycen v harmonickém potenciálu s časově závislou frekvencí. Zde uvedená transformace je potom užitečná pro zohlednění těchto účinků.

Reference