Model Dixit – Stiglitz - Dixit–Stiglitz model - Wikipedia

Model Dixit – Stiglitz je model monopolistická konkurence vyvinutý uživatelem Avinash Dixit a Joseph Stiglitz (1977).^[1] Používá se v mnoha podoborech ekonomiky včetně makroekonomie, ekonomická geografie a teorie mezinárodního obchodu. Tento model se snaží formalizovat preference spotřebitelů před rozmanitostí produktů pomocí typické CES funkce. Předchozí pokusy poskytnout model zohledňující preference odrůd (např Harold Hotelling je Model umístění ) byly nepřímé a neposkytly snadno interpretovatelnou a použitelnou formu pro další studium. Model Dixit-Stiglitz uvádí, že preference odrůd je již inherentní v rámci předpokladu monotónní preference jako spotřebitel s takovými preferencemi upřednostňuje mít průměr jakýchkoli dvou svazků zboží na rozdíl od extrémů. Tento model je standardem v mnoha vysokoškolských Průmyslová organizace kurzy a poskytuje měřítko pro analýzu spotřebitelských preferencí, ale vzhledem k množství předpokladů má model více teoretických důsledků než praktických.

Matematická derivace

Model Dixit-Stiglitz začíná standardem CES užitková funkce:

${ displaystyle u = [ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ { frac { sigma -1} { sigma}}] ^ { frac { sigma} { sigma - 1}}}$

kde N je počet zboží na trhu, x_i je na trhu dobrá a σ je pružnost substituce. Umístění omezení na σ z σ> 1 zajistí, že preference budou konvexní a tudíž monotóní pro jakýkoli optimalizační rozsah. Navíc všechny CES funkce jsou homogenní stupně 1, a proto představují homotetické preference.

Dále má spotřebitel a sada rozpočtu definován:

${ displaystyle B = {{ boldsymbol {x}}: sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} x_ {i} leq M }}$

Pro každého racionálního spotřebitele je cílem maximalizovat své užitné funkce v závislosti na nastaveném rozpočtovém omezení (M) exogenně. Takový proces nám umožňuje vypočítat spotřebitele Marshallovy požadavky. Matematicky to znamená, že se spotřebitel snaží dosáhnout:

${ displaystyle max {u = [ součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ { frac { sigma -1} { sigma}}] ^ { frac { sigma} { sigma -1}} } sv. { boldsymbol {x}} epsilon B}$

Jelikož jsou obslužné funkce pořadové číslo spíše než kardinál žádný monotónní transformace užitné funkce stále představuje stejné preference. Výše uvedený omezený optimalizační problém je tedy analogický s:

${ displaystyle max {u = součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ { frac { sigma -1} { sigma}} } sv. { boldsymbol { x}} epsilon B}$

od té doby ${ displaystyle f (u) = u ^ { frac { sigma -1} { sigma}}}$ přísně klesá.

Použitím a Lagrangeův multiplikátor můžeme převést výše uvedený prvotní problém na duál níže (viz Dualita )

${ displaystyle nabla = součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ { frac { sigma -1} { sigma}} - lambda [ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} x_ {i} -M]}$

Brát podmínky první objednávky dvou zboží x_i a x_j my máme

${ displaystyle nabla x_ {i} = { frac { sigma -1} { sigma}} x_ {i} ^ {- { frac {1} { sigma}}} - lambda p_ {i} = 0}$

${ displaystyle nabla x_ {j} = { frac { sigma -1} { sigma}} x_ {j} ^ {- { frac {1} { sigma}}} - lambda p_ {j} = 0}$

dělení prostřednictvím:

${ displaystyle ({ frac {x_ {i}} {x_ {j}}}) ^ {- { frac {1} { sigma}}} = { frac {p_ {i}} {p_ {j }}}}$

tím pádem,

${ displaystyle p_ {j} x_ {j} = p_ {i} ^ { sigma} x_ {i} p_ {j} ^ { sigma -1}}$

sečtením levé a pravé strany nad „j“ a využitím skutečnosti, že ${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} p_ {j} x_ {j} = M}$ my máme

${ displaystyle M = p_ {i} ^ { sigma} x_ {i} P}$

kde P je a index cen reprezentován jako ${ displaystyle P = součet _ {j = 1} ^ {N} p_ {j} ^ { sigma -1}}$

Proto Marshallova poptávková funkce je:

${ displaystyle x_ {i} = { frac {M} {P}} p_ {i} ^ {- sigma}}$

Pod monopolistická konkurence, kde je zboží téměř dokonalou náhražkou, budou ceny pravděpodobně relativně blízké. Proto za předpokladu ${ displaystyle p_ {i} = p}$ my máme:

${ displaystyle x_ {i} ^ {m} ({ mathbf {p}}, M) = { frac {M} {Np}}}$

Z toho vidíme, že nepřímá užitková funkce bude mít formu

${ displaystyle v ({ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = ( suma _ {i = 1} ^ {N} ({ frac {M} {Np}}) ^ { frac { sigma -1} { sigma}}) ^ { frac { sigma} { sigma -1}}}$

proto,

${ displaystyle v ({ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = { frac {M} {p}} N ^ { frac {1} { sigma -1}}}$

protože σ> 1 zjistíme, že užitečnost se v N přísně zvyšuje, což znamená, že spotřebitelé jsou na tom přísně lépe, protože se zvyšuje rozmanitost, tj. kolik produktů je v nabídce.

Reference

Další čtení

• Brakman, Steven; Heijdra, Ben J., eds. (2001). Monopolistická revoluce hospodářské soutěže ve zpětném pohledu. Cambridge University Press. ISBN  0-521-81991-1.

Tento ekonomika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.