Diskrétně stabilní distribuce - Discrete-stable distribution

Tento článek je věcná přesnost je sporný. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. Pomozte prosím zajistit, aby sporná prohlášení byla spolehlivě získáván. (Prosinec 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The diskrétně stabilní distribuce^[1] jsou třídou rozdělení pravděpodobnosti s vlastností, že součet několika náhodných proměnných z takového rozdělení je distribuován podle stejné rodiny. Jsou diskrétním analogem kontinuální stabilní distribuce.

Diskrétně stabilní distribuce byly použity v mnoha oblastech, zejména v sítě bez měřítka tak jako Internet, sociální sítě^[2] nebo dokonce sémantické sítě.^[3]

Diskrétní i spojitá třída stabilní distribuce mají vlastnosti jako např nekonečně dělitelnost, mocenský zákon ocasy a unimodalita.

Nejznámější diskrétní stabilní distribucí je Poissonovo rozdělení což je zvláštní případ jako jediná diskrétně stabilní distribuce, pro kterou znamenat a všechno momenty vyššího řádu jsou konečné.^{[pochybný – diskutovat]}

Definice

Jsou definována diskrétně stabilní rozdělení^[4] prostřednictvím jejich funkce generující pravděpodobnost

${ displaystyle G (s | nu, a) = součet _ {n = 0} ^ { infty} P (N | nu, a) (1-s) ^ {N} = exp (-as ^ { nu}).}$

Ve výše uvedeném ${ displaystyle a> 0}$ je parametr měřítka a ${ displaystyle 0 < nu leq 1}$ popisuje chování zákonů moci tak, že když ${ displaystyle 0 < nu <1}$,

${ displaystyle lim _ {N to infty} P (N | nu, a) sim { frac {1} {N ^ { nu +1}}}.}$

Když ${ displaystyle nu = 1}$ distribuce se stává známou Poissonovo rozdělení s průměrem ${ displaystyle a}$.

Původní distribuce je obnovena opakovanou diferenciací generující funkce:

${ displaystyle P (N | nu, a) = left. { frac {(-1) ^ {N}} {N!}} { frac {d ^ {N} G (s | nu, a)} {ds ^ {N}}} doprava | _ {s = 1}.}$

A uzavřený výraz použití elementárních funkcí pro rozdělení pravděpodobnosti diskrétních stabilních rozdělení není známé, kromě případu Poissona, ve kterém

${ displaystyle ! P (N | nu = 1, a) = { frac {a ^ {N} e ^ {- a}} {N!}}.}$

Výrazy však existují, pomocí speciální funkce pro případ ${ displaystyle nu = 1/2}$^[5] (ve smyslu Besselovy funkce ) a ${ displaystyle nu = 1/3}$^[6] (ve smyslu hypergeometrické funkce ).

Jako složené rozdělení pravděpodobnosti

Celá třída diskrétních stabilních distribucí může být vytvořena jako Poisson složené pravděpodobnostní rozdělení kde to znamená, ${ displaystyle lambda}$, Poissonovo rozdělení je definováno jako náhodná proměnná s a funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF). Když je PDF střední hodnoty jednostranné kontinuální stabilní distribuce s parametrem stability ${ displaystyle 0 < alpha <1}$ a měřítko parametru ${ displaystyle c}$ výsledná distribuce je^[7] diskrétní stabilní s indexem ${ displaystyle nu = alpha}$ a měřítko parametru ${ displaystyle a = c sec ( alpha pi / 2)}$.

Formálně je to napsáno:

${ Displaystyle P (N | alfa, c sec ( alpha pi / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | 1, lambda) p ( lambda; alfa , 1, c, 0) , d lambda}$

kde ${ displaystyle p (x; alfa, 1, c, 0)}$ je pdf jednostranné spojité stabilní distribuce se symetrickým parametrem ${ displaystyle beta = 1}$ a parametr umístění ${ displaystyle mu = 0}$.

Obecnější výsledek^[6] uvádí, že vytvoření složené distribuce z žádný diskrétní stabilní distribuce s indexem ${ displaystyle nu}$ s jednostrannou kontinuální stabilní distribucí s indexem ${ displaystyle alpha}$ má za následek diskrétní stabilní distribuci s indexem ${ displaystyle nu cdot alfa}$, snížení indexu zákoníku moci původní distribuce o faktor ${ displaystyle alpha}$.

Jinými slovy,

${ Displaystyle P (N | nu cdot alfa, c sec ( pi alpha / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | alfa, lambda) p ( lambda; nu, 1, c, 0) , d lambda.}$

V Poissonově limitu

V limitu ${ displaystyle nu rightarrow 1}$se chovají diskrétně stabilní distribuce^[7] jako Poissonovo rozdělení s průměrem ${ displaystyle a sec ( nu pi / 2)}$ pro malé ${ displaystyle N}$, nicméně pro ${ displaystyle N gg 1}$, dominuje ocas zákona moci.

Konvergence i.i.d. random se mění s ocasy power-law ${ displaystyle P (N) sim 1 / N ^ {1+ nu}}$ diskrétně stabilní distribuce je mimořádně pomalá^[8] když ${ displaystyle nu přibližně 1}$ - limitem je Poissonovo rozdělení, když ${ displaystyle nu> 1}$ a ${ displaystyle P (N | nu, a)}$ když ${ displaystyle nu leq 1}$.

Viz také

• Stabilní distribuce
• Poissonovo rozdělení

Reference

Další čtení

• Feller, W. (1971) Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací, Díl 2. Wiley. ISBN  0-471-25709-5
• Gnedenko, B. V .; Kolmogorov, A. N. (1954). Omezit rozdělení na součty nezávislých náhodných proměnných. Addison-Wesley.
• Ibragimov, I .; Linnik, Yu (1971). Nezávislé a stacionární sekvence náhodných proměnných. Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, Nizozemsko.