Přímý důkaz - Direct proof

v matematika a logika, a přímý důkaz je způsob, jak ukázatpravda nebo nepravdivost daného tvrzení přímou kombinací zjištěných faktů, obvykle axiomy, existující lemmat a věty, aniž by činily jakékoli další předpoklady.^[1] Za účelem přímého prokázání podmiňovací způsob prohlášení formuláře "Pokud p, pak q", stačí vzít v úvahu situace, ve kterých prohlášení p je pravda. Logická dedukce se používá k uvažování od předpokladů k závěru. Použitý typ logiky je téměř vždy logika prvního řádu, využívající kvantifikátory pro všechny a tady existuje. Běžná použitá pravidla pro důkaz jsou modus ponens a univerzální instance.^[2]

Naproti tomu an nepřímý důkaz může začít s určitými hypotetickými scénáři a poté pokračovat v odstraňování nejistot v každém z těchto scénářů, dokud nebude vynucen nevyhnutelný závěr. Například místo přímého zobrazování p ⇒ q, jeden dokazuje své kontrapozitivní ~q ⇒ ~p (jeden předpokládá ~q a ukazuje, že to vede k ~p). Od té doby p ⇒ q a ~q ⇒ ~p jsou rovnocenné principu transpozice (vidět zákon vyloučeného prostředku ), p ⇒ q je nepřímo prokázáno. Mezi důkazní metody, které nejsou přímé, patří důkaz rozporem, počítaje v to důkaz nekonečným sestupem. Mezi metody přímého důkazu patří důkaz vyčerpáním a důkaz indukcí.

Historie a etymologie

Přímý důkaz je nejjednodušší forma důkazu, jaký existuje. Slovo „důkaz“ pochází z latinského slova probare,^[3] což znamená „otestovat“. Nejčasnější použití důkazů bylo prominentní v soudních řízeních. Osoba s autoritou, jako například šlechtic, byla údajně poctivá, což znamená, že důkazy pocházela od její relativní autority, která převažovala nad empirickým svědectvím. V dávných dobách byla matematika a důkazy často provázány s praktickými otázkami - s populacemi jako Egypťané a Řekové projevit zájem o průzkum země.^[4] To vedlo k přirozené zvědavosti ohledně geometrie a trigonometrie - zvláště trojúhelníky a obdélníky. Byly to tvary, které poskytovaly nejvíce otázek z hlediska praktických věcí, takže rané geometrické koncepty byly zaměřeny na tyto tvary, například budovy a pyramidy používaly tyto tvary v hojnosti. Dalším tvarem, který je v historii přímého důkazu zásadní, je kruh, což bylo rozhodující pro návrh arén a nádrží na vodu. To znamenalo, že starodávná geometrie (a Euklidovská geometrie ) diskutované kruhy.

Nejčasnější forma matematiky byla fenomenologický. Například pokud někdo dokáže nakreslit rozumný obrázek nebo podat přesvědčivý popis, pak to splňuje všechna kritéria, aby bylo něco možné popsat jako matematický „fakt“. Příležitostně, analogický došlo k hádkám, nebo dokonce „vyvoláním bohů“. Myšlenka, že by bylo možné dokázat matematické výroky, dosud nebyla vyvinuta, takže se jednalo o nejranější formy pojmu důkaz, přestože vůbec nebyl skutečným důkazem.

Důkaz, jak víme, vznikl s jednou konkrétní otázkou: „co je důkaz?“ Důkazem je tradičně platforma, která někoho přesvědčí nade vší pochybnost, že tvrzení je matematicky pravdivé. Přirozeně by se dalo předpokládat, že nejlepším způsobem, jak dokázat pravdu o něčem podobném (B), bude vypracovat a srovnání s něčím starým (A), které již bylo prokázáno jako pravdivé. Tak byl vytvořen koncept odvození nového výsledku od starého výsledku.

Příklady

Součet dvou sudých celých čísel se rovná sudému celému číslu

Zvažte dvě dokonce celá čísla X a y. Protože jsou sudé, lze je psát jako

${ displaystyle x = 2a}$

${ displaystyle y = 2b}$

respektive pro celá čísla A a b. Poté lze součet zapsat jako

${ displaystyle x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) = 2p}$ kde ${ displaystyle p = a + b}$, A a b jsou všechna celá čísla.

Z toho vyplývá, že X + y má 2 jako faktor, a proto je sudé, takže součet libovolných dvou sudých celých čísel je sudý.

Pythagorova věta

Všimněte si, že máme čtyři pravoúhlé trojúhelníky a čtverec zabalený do velkého čtverce. Každý z trojúhelníků má strany A a b a přepona C. Plocha čtverce je definována jako čtverec délky jeho stran - v tomto případě (a + b)². Plocha velkého čtverce však může být také vyjádřena jako součet ploch jeho složek. V tomto případě by to byl součet ploch čtyř trojúhelníků a malého čtverce uprostřed.^[5]

Víme, že plocha velkého čtverce se rovná (a + b)².

Plocha trojúhelníku se rovná ${ displaystyle { frac {1} {2}} ab.}$

Víme, že plocha velkého čtverce se také rovná součtu ploch trojúhelníků plus plocha malého čtverce, a tedy plocha velkého čtverce se rovná ${ displaystyle 4 ({ frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$

Jsou si rovni a tak

${ displaystyle (a + b) ^ {2} = 4 ({ frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$

Po nějakém zjednodušení

${ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = 2ab + c ^ {2}.}$

Odstranění ab, které se objeví na obou stranách, dává

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2},}$

což dokazuje Pythagorovu větu. ∎

Druhá mocnina lichého čísla je také lichá

Podle definice, pokud n je liché celé číslo, lze jej vyjádřit jako

${ displaystyle n = 2k + 1}$

pro celé číslo k. Tím pádem

${ displaystyle { begin {zarovnáno} n ^ {2} & = (2k + 1) ^ {2} & = (2k + 1) (2k + 1) & = 4k ^ {2} + 2k + 2k + 1 & = 4k ^ {2} + 4k + 1 & = 2 (2k ^ {2} + 2k) +1. End {zarovnáno}}}$

Od 2k²+ 2k je celé číslo, n² je také zvláštní. ∎

Reference

Zdroje

• Franklin, J.; A. Daoud (2011). Důkaz z matematiky: Úvod. Sydney: Knihy Kew. ISBN  0-646-54509-4. (Kap. 1.)

externí odkazy

• Přímý důkaz od Larryho W. Cusicka Jak psát důkazy.
• Přímé důkazy od Patricka Keefa a Davida Guicharda Úvod do vyšší matematiky.
• Přímý důkaz část Richarda Hammacka Kniha důkazů.