Rozdílnost - Diffiety

v matematika, a úzkost je geometrický objekt představený Alexandre Michajlovič Vinogradov (vidět Vinogradov (1984a) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov1984a (Pomoc)) hraje stejnou roli v moderní teorii parciální diferenciální rovnice tak jako algebraické odrůdy hrát o algebraické rovnice.

Definice

Abychom definovali diferenci, musíme zaujmout geometrický přístup k popisu diferenciálních rovnic a jejich řešení. To vyžaduje pojmy prostorů trysek, prodloužení a Cartanovu distribuci, které budou představeny níže. Čtenář obeznámený s těmito pojmy může přímo přejít k definice.

Jet Spaces

Nechat ${displaystyle E}$ být ${displaystyle m + e}$-rozměrné hladké potrubí. Dva ${displaystyle m}$-rozměrné dílčí potrubí ${displaystyle M, M '}$ z ${displaystyle E}$ se říká, že mají stejné ${displaystyle k}$-tá objednávka Proud ${displaystyle [M] _ {p} ^ {k}}$ na ${displaystyle pin Mcap M'subset E}$ pokud jsou tečny na objednávku ${displaystyle k}$. (Být tečna na objednávku ${displaystyle k}$ znamená, že pokud někdo místně popisuje dílčí potrubí jako obrázky sekcí, pak se deriváty těchto sekcí dohodnou na pořadí ${displaystyle k}$.)

${displaystyle M}$ a ${displaystyle M '}$ mít stejný 1-jet, zatímco ${displaystyle M}$ a ${displaystyle M ''}$ mít stejný 3-proudový letoun.

Jeden to může ukázat tečna na zakázku ${displaystyle k}$ je pojem souřadnic-invariant a vztah ekvivalence (viz Saunders (1989) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFSaunders1989 (Pomoc) například). Proto je tryskáč třídou ekvivalence. Můžeme použít trysky k definování prostorů trysek.

The Jet Space ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ je definována jako sada všech trysek pořadí ${displaystyle k}$ z ${displaystyle m}$-dimenzionální dílčí potrubí ${displaystyle E}$ ve všech bodech ${displaystyle E}$, tj.${displaystyle J ^ {k} (E, m): = {[M] _ {p} ^ {k} ~ | ~ Mi p, ~ {ext {dim}} (M) = m, ~ pin E}}$

Lze ukázat, že Jet Spaces jsou přirozeně obdařeni strukturou hladkého potrubí (viz Saunders (1989) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFSaunders1989 (Pomoc) znovu).

Poznámka k vztahu Jet Spaces a Jet Bundles.

Namísto uvažování trysek dílčích potrubí, jak je uvedeno výše, často stačí definovat trysky sekcí vláknitého potrubí ${displaystyle pi: Eightarrow M}$. V tomto případě lze popsat ta dílčí potrubí, která jsou vodorovná k projekci ${displaystyle pi}$ jako obrázky sekcí ${displaystyle s}$ vláknitého potrubí. Proud řezů je potom třída ekvivalence řezů, které jsou tečné až do pořadí ${displaystyle k}$ v určitém okamžiku ${displaystyle pin M}$. To vede k definici a Jet Bundle což je o něco méně obecná konstrukce než Jet Space. Další informace najdete na stránce Wikipedia na Jet svazky.

Diferenciální rovnice

A diferenciální rovnice je podmanifold Jet Space, ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {k} (E, m)}$.

Pokud definujete řešení níže, pak tato geometrická definice PDE v lokálních souřadnicích vede k výrazům, které se obvykle používají k definování PDE a jejich řešení v matematická analýza.

Prodloužení

The ${displaystyle k}$- prodloužení paprsku podmanifoldu ${displaystyle Msubset E}$, je vložení ${displaystyle j ^ {k} (M): Mightarrow J ^ {k} (E, m)}$ dána${displaystyle j ^ {k} (M) (p): = [M] _ {p} ^ {k}.}$Navíc to řekněte ${displaystyle M ^ {k}: = {ext {im}} (j ^ {k} (M))}$ je prodloužení podmanifoldu ${displaystyle M}$.

Dále lze definovat prodloužení rovnic, tj. Dílčích potrubí Jetových prostor. Za tímto účelem zvažte diferenciální rovnici ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {l} (E, m)}$. Jeden by chtěl ${displaystyle k}$-th prodloužení řádové rovnice ${displaystyle l}$ být rovnicí řádu ${displaystyle k + l}$, tj. dílčí potrubí proudového prostoru ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$Aby toho bylo možné dosáhnout, nejprve se zkonstruuje tryskový prostor ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ přes ${displaystyle m}$-dimenzionální dílčí potrubí z ${displaystyle {mathcal {E}}}$. Tak jako ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je vložen do ${displaystyle J ^ {l} (E, m)}$, lze vždy přirozeně vložit ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ do ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$. Ale vzhledem k tomu druhému je prostor opakovaných trysek podmanifoldů ${displaystyle E}$, lze také vždy vložit ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$ do ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$. Výsledkem je, když uvažujeme o obou ${displaystyle J ^ {k + l} (E, m)}$ a ${displaystyle J ^ {k} ({mathcal {E}}, m)}$ jako podprostory ${displaystyle J ^ {k} (J ^ {l} (E, m), m)}$, jejich průsečík je dobře definovaný. Používá se pro definici prodloužení platnosti ${displaystyle {mathcal {E}}}$.

The ${displaystyle k}$-té prodloužení diferenciální rovnice ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {l} (E, m)}$ je definován jako${displaystyle {mathcal {E}} ^ {k}: = J ^ {k} ({mathcal {E}}, m) čepice J ^ {k + l} (E, m)}$

Všimněte si však, že takový průnik nemusí být nutně opět potrubí (tj. Ne vždy existuje v kategorii hladkých potrubí). Jeden proto obvykle vyžaduje ${displaystyle {mathcal {E}}}$ být natolik milý, že alespoň jeho první prodloužení je skutečně podmanifoldem ${displaystyle J ^ {k + 1} (E, m)}$.

Lze také ukázat, že tato definice má smysl, i když ${displaystyle k}$ jde do nekonečna.

Distribuce kartanu

Všimněte si, že níže není distribuce chápána ve smyslu zobecněné funkce ale je považován za podskupinu tangenta svazku, jak se obvykle dělá při zvažování rozdělení v diferenciální geometrii.

An ${displaystyle R}$-letadlo v určitém okamžiku ${displaystyle heta v J ^ {k} (E, m)}$ je definován jako podprostor tečného prostoru ${displaystyle T_ {heta} (J ^ {k} (E, m))}$ formuláře ${displaystyle T_ {heta} (M ^ {k})}$ pro jakékoli podmanifold ${displaystyle M}$ z ${displaystyle E}$ (jehož prodloužení obsahuje bod ${displaystyle heta}$).

Rozpětí všech ${displaystyle R}$- letadla v bodě ${displaystyle heta v J ^ {k} (E, m)}$ je označen ${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{heta}}$. Mapa${displaystyle {mathcal {C}}: J ^ {k} (E, m) ightarrow TJ ^ {k} (E, m), qquad heta mapsto {mathcal {C}} _ ​​{heta} podmnožina T_ {heta} ( J ^ {k} (E, m))}$je nazýván Distribuce kartonů (na ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$).

Cartanova distribuce je důležitá v algebro-geometrickém přístupu k diferenciálním rovnicím, protože umožňuje definovat zobecněná řešení diferenciálních rovnic čistě geometrickými termíny.

Zobecněné řešení diferenciální rovnice ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {k} (E, m)}$ je definován jako ${displaystyle m}$-rozměrný dílčí potrubí ${displaystyle Ssubset {mathcal {E}}}$ který splňuje ${displaystyle T_ {heta} Ssubset {mathcal {C}} _ ​​{heta}}$ pro všechny ${displaystyle heta v S}$.

Lze se také podívat na Cartan Distribuce podmanifoldu ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ aniž by to bylo nutné zvažovat uvnitř ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$. K tomu je třeba definovat omezení distribuce na podmanifold ${displaystyle J ^ {k} (E, m)}$ jak následuje.

Li ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {k} (E, m)}$, pak je jeho distribuce Cartan definována${displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {E}}): = {{mathcal {C}} _ ​​{heta} cap T_ {heta} ({mathcal {E}}) ~ | ~ heta in {mathcal { E}}}}$

V tomto smyslu dvojice ${displaystyle ({mathcal {E}}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}}))}$ kóduje informace o (zobecněných) řešeních diferenciální rovnice ${displaystyle {mathcal {E}}}$.

Definice obtížnosti

v Algebraická geometrie hlavní předměty studia jsou odrůdy které zahrnují všechny algebraické důsledky soustavy algebraických rovnic. Pokud například vezmeme v úvahu nulový lokus sady polynomů, pak aplikace algebraických operací na tuto sadu (jako přidání těchto polynomů k sobě navzájem nebo jejich násobení jakýmkoli jiným polynomem) povede ke vzniku stejného nulového lokusu, tj. Lze ve skutečnosti považujeme nulový lokus algebraického ideálu počáteční množiny polynomů.

Nyní v případě diferenciálních rovnic, kromě použití algebraických operací, je navíc možné rozlišovat. Proto by měl být diferenciální analog odrůdy jako a diferenciální ideál a měl by zahrnovat všechny rozdílné důsledky. Přirozený objekt, který zahrnuje diferenciální důsledky rovnice ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je jeho nekonečné prodloužení ${displaystyle {mathcal {E}} ^ {infty}}$. Obecně může být nekonečně dimenzionální. Dále bychom chtěli věnovat pozornost geometrické struktuře Cartanova rozdělení definované výše. Proto dvojice ${displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}))}$ je definován jako elementární rozdílerekční variety, nebo zkrátka jako elementární úzkost.

Li ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je ${displaystyle k}$diferenciální rovnice řádu, její elementární rozdíl je pár ${displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}))}$.

Všimněte si, že když uvažujete o diferenciální rovnici ${displaystyle {mathcal {E}} podmnožina J ^ {k} (E, m)}$, pak lze ukázat, že distribuce Cartan ${displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty})}$ je přesně ${displaystyle m}$-dimenzionální na rozdíl od konečně mnoha prodloužení.

Elementární rozdíly jsou geometrické objekty, které hrají stejnou roli v teorii parciálních diferenciálních rovnic jako afinní algebraické variace v teorii algebraických rovnic. Stejně jako odrůdy nebo schémata jsou složeny z neredukovatelné afinní odrůdy nebo afinní schémata, lze také definovat (neelementární) rozdílnost jako objekt, který místně vypadá elementární rozmanitost.

Předpokládejme to ${displaystyle {mathcal {O}}}$ je obecně nekonečné dimenzionální potrubí vybavené algebrou s hladkou funkcí ${displaystyle {mathcal {F}} ({mathcal {O}})}$ a konečný rozměr rozdělení ${displaystyle {mathcal {C}} ({mathcal {O}})}$.A úzkost je trojnásobek ${displaystyle ({mathcal {O}}, {mathcal {F}} ({mathcal {O}}), {mathcal {C}} ({mathcal {O}}))}$ to je lokálně ve formě ${displaystyle ({mathcal {E}} ^ {infty}, C ^ {infty} ({mathcal {E}} ^ {infty}), {mathcal {C}} ({mathcal {E}} ^ {infty}) )}$ kde ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je diferenciální rovnice, ${displaystyle C ^ {infty} ({mathcal {E}} ^ {infty})}$ označuje třídu nekonečně diferencovatelných funkcí ${displaystyle {mathcal {E}} ^ {infty}}$ a lokálně znamená vhodnou lokalizaci s ohledem na Zariski topologie odpovídající algebře ${displaystyle {mathcal {F}} ({mathcal {O}})}$.

Mapy, o kterých se říká, že zachovat distribuci Cartan jsou hladké mapy ${displaystyle Phi: {mathcal {O}} ightarrow {mathcal {O}} '}$ které jsou takové, že vpřed ${displaystyle d_ {heta} Phi}$ na ${displaystyle heta in {mathcal {O}}}$ jedná takto:

${displaystyle d_ {heta} Phi (vin {mathcal {C}} _ ​​{heta}) in {mathcal {C}} _ ​​{Phi (heta)}}$

Rozdíly spolu s mapami, které zachovávají Cartanovu distribuci, jsou objekty a morfismy Kategorie diferenciálních rovnic definováno Vinogradovem. Důkladný úvod do tématu je uveden v Vinogradov (2001) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov2001 (Pomoc).

Aplikace

Vinogradovova sekvence

The Vinogradov ${displaystyle {mathcal {C}}}$-spektrální sekvence (nebo zkrátka Vinogradovova sekvence) je spektrální sekvence související s Cartanovým rozdělením ${displaystyle {mathcal {C}}}$ který Vinogradov vynalezl (viz Vinogradov (1978) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov1978 (Pomoc)) pro výpočet určitých vlastností prostoru formálního řešení diferenciální rovnice. K jeho formulování lze použít různorodosti.

Předpokládat, že ${displaystyle ({mathcal {O}}, {mathcal {F}} ({mathcal {O}}), {mathcal {C}} ({mathcal {O}}))}}$ je rozdíl. Nyní definujte

${displaystyle Omega ({mathcal {O}}): = součet _ {igeq 0} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})}$

být algebrou diferenciálních forem ${displaystyle {mathcal {O}}}$Zvažte odpovídající komplex de Rham:

${displaystyle C ^ {infty} ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ Omega ^ {1} ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ Omega ^ {2 } ({mathcal {O}}) ~ {color {Gray} longrightarrow} ~ cdots}$

Jeho kohomologické skupiny ${displaystyle H ^ {i} ({mathcal {O}}): = {ext {ker}} ({ext {d}} _ {i}) / {ext {im}} ({ext {d}} _ {i-1})}$obsahují některé strukturální informace o PDE. Kvůli Poincaré Lemmě však všichni místně zmizeli. Aby bylo možné získat mnohem více a dokonce i místní informace, je třeba brát v úvahu Cartanovu distribuci. To usnadní Vinogradovova sekvence. Za tímto účelem

${displaystyle {mathcal {C}} Omega ({mathcal {O}}) = součet _ {igeq 0} {mathcal {C}} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})}$

být submodulem různých forem ${displaystyle Omega ({mathcal {O}})}$ přes ${displaystyle {mathcal {O}}}$jehož omezení distribuce zmizí. To znamená

${displaystyle {mathcal {C}} Omega ^ {p} ({mathcal {O}}) iw {ext {iff}} w (X_ {1}, cdots, X_ {p}) = 0 ~ pro všechny ~ X_ {1 }, cdots, X_ {p} v {mathcal {C}} ({mathcal {O}}).}$

Je to vlastně takzvaný diferenciální ideál, protože je stabilní w.r.t. k diferenciálu de Rham, tj. ${displaystyle {ext {d}} ({mathcal {C}} Omega ^ {i} ({mathcal {O}})) podmnožina {mathcal {C}} Omega ^ {i + 1} ({mathcal {O}} )}$.

Tak teď ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {k} Omega ({mathcal {O}})}$ být jeho ${displaystyle k}$-tá síla, tj. lineární podprostor ${displaystyle {mathcal {C}} Omega}$ generováno uživatelem ${displaystyle w_ {1} wedge cdots wedge w_ {k}, ~ w_ {i} in {mathcal {C}} Omega}$Pak se získá filtrace

${displaystyle Omega ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} Omega ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} ^ {2} Omega ({mathcal {O}}) supset cdots}$

a protože všechny ideály ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {k} Omega}$ jsou stabilní, tato filtrace zcela určuje spektrální sekvenci. (Další informace o tom, jak spektrální sekvence fungují, viz spektrální sekvence.) Tuto posloupnost označíme

${displaystyle {mathcal {C}} E ({mathcal {O}}) = {E_ {r} ^ {p, q}, {ext {d}} _ {r} ^ {p, q}} qquad {ext {where}} qquad E_ {0} ^ {p, q}: = {frac {{mathcal {C}} ^ {p} Omega ^ {p + q} ({mathcal {O}})} {{mathcal { C}} ^ {p + 1} Omega ^ {p + q} ({mathcal {O}})}}, qquad {ext {a}} qquad E_ {r + 1} ^ {p, q}: = H (E_ {r} ^ {p, q}, d_ {r} ^ {p, q})}$

Filtrace výše je v každém stupni konečná, to znamená

${displaystyle Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) supset {mathcal {C}} ^ {1} Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) supset cdots supset {mathcal {C}} ^ { k + 1} Omega ^ {k} ({mathcal {O}}) = 0}$

Pokud je filtrace v tomto smyslu konečná, pak spektrální sekvence konverguje k de Rhamově kohomologii ${displaystyle H ({mathcal {O}})}$ Nyní tedy můžeme analyzovat termíny pořadí spektrálních sekvencí podle pořadí. To se provádí například v kapitole 5 Krasilshchik (1999) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFKrasilshchik1999 (Pomoc). Zde bude pouze shrnuto, které informace jsou obsaženy ve Vinogradovově sekvenci.

1. ${displaystyle E_ {1} ^ {0, n}}$ odpovídá akčním funkcionálům omezeným PDE ${displaystyle {mathcal {E}}}$ a pro ${displaystyle {mathcal {L}} v E_ {1} ^ {0, n}}$, odpovídající Euler-Lagrangeova rovnice je ${displaystyle {ext {d}} _ {1} ^ {0, n} {mathcal {L}} = 0}$.
2. ${displaystyle E_ {1} ^ {0, n-1}}$ odpovídá zákonům o ochraně pro řešení ${displaystyle {mathcal {E}}}$.
3. ${displaystyle E_ {2}}$ je interpretována jako charakteristické třídy bordismů řešení ${displaystyle {mathcal {E}}}$.
4. Stále existuje mnoho termínů, které čekají na výklad.

Poznámka k variačnímu dvojkomplexu.

Pokud vezmeme v úvahu svazek trysek místo prostoru tryskového letadla, pak místo ${displaystyle {mathcal {C}}}$-spektrální sekvence, jedna získá o něco méně obecnou variační dvojkomplex. (Libovolný dvojkomplex určuje dvě spektrální sekvence. Jednou ze dvou spektrálních sekvencí určených variačním dvojkomplexem je přesně Vinogradov. ${displaystyle {mathcal {C}}}$-spektrální sekvence. Variační dvojkomplex byl však také vyvinut nezávisle na Vinogradovově sekvenci.) Podobně jako u podmínek spektrální sekvence lze mnoho z jejích termínů podat fyzickou interpretací, vezmeme-li v úvahu rozdílnost (tj. Zhruba prostor řešení PDE) klasická teorie pole. Například jeden získá třídy cohomologie odpovídající akčním funkcionálům, konzervovaným proudům, měřidlovým nábojům a dalším důležitým pojmům v jednom jednotně organizovaném schématu. Vzhledem k tomu, článek na Wikipedii o variační dvojkomplex je v současné době poměrně krátká, místo toho se na čtenáře odkazuje článek nLab Pro více informací.

Sekundární počet

Vinogradov vyvinul teorii, která je známá jako sekundární počet (viz Vinogradov (1984b) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov1984b (Pomoc), Vinogradov (1998) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov1998 (Pomoc), Vinogradov (2001) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVinogradov2001 (Pomoc)), formalizující v cohomologickém smyslu myšlenku diferenciálního počtu v prostoru řešení daného systému PDE, nebo, který je zhruba stejný, v prostoru integrálních variet dané difuze. Jinými slovy, sekundární počet poskytuje náhražky vektorových polí, diferenciálních forem, diferenciálních operátorů atd. Na (obecně) velmi singulárním prostoru, kde tyto objekty nelze definovat obvyklým (plynulým) způsobem. (Toto shrnutí bylo převzato z úvodu Vitagliano (2014) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVitagliano2014 (Pomoc).)

v Vitagliano (2009) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFVitagliano2009 (Pomoc) je analyzován vztah mezi sekundárním počtem a kovariantním fázovým prostorem (což je prostor řešení Euler-Lagrangeových rovnic spojených s Lagrangeova teorie pole ).

Viz také

• Sekundární počet a kohomologická fyzika
• Parciální diferenciální rovnice na svazcích Jet
• Diferenciální ideál
• Diferenciální počet přes komutativní algebry

Další způsob zobecnění myšlenek z algebraické geometrie je diferenciální algebraická geometrie.

Reference

externí odkazy

• Institut obtížnosti (zmrazeno od roku 2010, ale obsahuje užitečný související materiál)
• Institut Levi-Civita (nástupce výše uvedeného webu s aktuálními informacemi o obtížných školách)
• Geometrie diferenciálních rovnic