Diferenciální ideál - Differential ideal

V teorii diferenciální formy, a diferenciální ideál Já je algebraický ideál v kruhu hladkých diferenciálních forem na a hladké potrubí, jinými slovy a odstupňovaný ideální ve smyslu teorie prstenů, který je dále uzavřen pod vnější diferenciace d. Jinými slovy, pro jakoukoli formu α v Já, vnější derivát dα je také v Já.

V teorii diferenciální algebra, a diferenciální ideál Já v diferenciálním kroužku R je ideál, který si každý operátor diferenciálu namapuje sám na sebe.

Vnější diferenciální systémy a parciální diferenciální rovnice

An vnější diferenciální systém sestává z hladkého potrubí ${displaystyle M}$ a diferenciální ideál

${displaystyle Isubset Omega ^ {*} (M)}$.

An integrální potrubí vnějšího diferenciálního systému ${displaystyle (M, I)}$ sestává z a podmanifold ${displaystyle Nsubset M}$ vlastnit vlastnost, ke které se zpětné stažení ${displaystyle N}$ všech diferenciálních forem obsažených v ${displaystyle I}$ zmizí stejně.

Jeden může vyjádřit jakýkoli parciální diferenciální rovnice systém jako vnější diferenciální systém s podmínkou nezávislosti. Předpokládejme, že máme kSystém parciální diferenciální rovnice řádu pro mapy ${displaystyle u: mathbb {R} ^ {m} ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$, dána

${displaystyle F ^ {r} (x, u, {frac {částečné ^ {| I |} u} {částečné x ^ {I}}}) = 0, quad 1leq | I | leq k}$.

Graf ${displaystyle k}$-proud ${displaystyle (u ^ {a}, p_ {i} ^ {a}, tečky, p_ {I} ^ {a}) = (u ^ {a} (x), {frac {částečný u ^ {a}} {částečné x ^ {i}}}, tečky, {frac {částečné ^ {| I |} u} {částečné x ^ {I}}}) _ {1leq | I | leq k}}$ jakéhokoli řešení tohoto systému parciálních diferenciálních rovnic je podmanifold ${displaystyle N}$ z proudový prostor, a je integrálním potrubím kontaktní systém ${displaystyle du ^ {a} -p_ {i} ^ {a} dx ^ {i}, tečky, dp_ {I} ^ {a} -p_ {Ij} ^ {p} dx ^ {j} {} _ { 1leq | I | leq k-1}}$na ${displaystyle k}$-jet svazek.

Tato myšlenka umožňuje analyzovat vlastnosti parciálních diferenciálních rovnic metodami diferenciální geometrie. Například můžeme použít Cartan – Kähler_theorem do systému parciálních diferenciálních rovnic zapsáním souvisejícího externího diferenciálního systému. Často se můžeme přihlásit Cartanova metoda ekvivalence do vnějších diferenciálních systémů ke studiu jejich symetrií a jejich difeomorfismových invarianty.

Dokonalé diferenciální ideály

Diferenciální ideál ${displaystyle I,}$ je perfektní, pokud má vlastnost, že pokud obsahuje prvek ${displaystyle ain I}$ obsahují jakýkoli prvek ${displaystyle bin I}$ takhle ${displaystyle b ^ {n} = a}$ pro některé ${displaystyle n> 0,}$.

Reference

• Robert Bryant, Phillip Griffiths a Lucas Hsu, Směrem ke geometrii diferenciálních rovnic (Soubor DVI), v Geometrie, Topologie a Fyzika, Konf. Proc. Poznámky k přednášce Geom. Topologie, editoval S.-T. Yau, sv. IV (1995), s. 1–76, Internat. Press, Cambridge, MA
• Robert Bryant, Shiing-Shen Chern, Robert Gardner, Phillip Griffiths, Hubert Goldschmidt, Vnější diferenciální systémySpringer - Verlag, Heidelberg, 1991.
• Thomas A. Ivey, J. M. Landsberg, Cartan pro začátečníky. Diferenciální geometrie prostřednictvím pohyblivých rámů a vnějších diferenciálních systémů. Druhé vydání. Postgraduální studium matematiky, 175. American Mathematical Society, Providence, RI, 2016.
• H. W. Raudenbush, Jr. „Ideální teorie a algebraické diferenciální rovnice“, Transakce Americké matematické společnosti, Sv. 36, č. 2. (duben, 1934), s. 361–368. Stabilní URL:[1] doi:10.1090 / S0002-9947-1934-1501748-1
• J. F. Ritt, Diferenciální algebra, Dover, New York, 1950.

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.