Difeologie - Diffeology
v matematika, a diffeologie na sadě deklaruje, jaké jsou plynulé parametrizace v sadě. V určitém smyslu difeologie zobecňuje koncept plynulých grafů v a diferencovatelné potrubí.
Koncept byl poprvé představen Jean-Marie Souriau v 80. letech a nejprve se vyvinuli jeho studenty Paul Donato (homogenní prostory a krytiny) a Patrick Iglesias (svazky diffeologických vláken, vyšší homotopie atd.), později jinými lidmi. Související myšlenku představil Kuo-Tsaï Chen (陳 國 才, Chen Guocai) v 70. letech 20. století, pomocí konvexních množin namísto otevřených množin pro domény pozemků.
Definice
Li X je sada, a diffeologie na X je sada map, tzv pozemky, z otevřené podmnožiny z Rn (n ≥ 0) až X takové, že platí:
- Každá konstantní mapa je zápletka.
- Pro danou mapu má každý bod v doméně a sousedství takže omezení mapy na toto sousedství je spiknutí, pak je samotná mapa spiknutím.
- Li str je spiknutí a F je plynulá funkce z otevřené podmnožiny nějakého skutečného vektorového prostoru do domény str, pak složení str ∘ F je spiknutí.
Všimněte si, že doménami různých grafů mohou být podmnožiny Rn pro různé hodnoty n.
Souprava spolu s diffeologií se nazývá a diffeologický prostor.
Mapa mezi difeologickými prostory je volána rozlišitelný právě když je jeho skládání s každým grafem prvního prostoru grafem druhého prostoru. Je to difeomorfismus pokud je rozlišitelný, bijektivní, a jeho inverzní je také rozlišitelný.
Diffeologické prostory spolu s diferencovatelnými mapami jako morfismy, tvoří a kategorie. Izomorfismy v této kategorii jsou difefomorfismy definované výše. The kategorie diffeologických prostorů je uzavřeno pod mnoha kategorickými operacemi.
Diffeologický prostor má D-topologie: nejlepší topologie takové, že všechny pozemky jsou kontinuální.
Li Y je podmnožina diffeologického prostoru X, pak Y je sám o sobě přirozeným způsobem diffeologický prostor: zápletky Y jsou ty pozemky X jejichž obrázky jsou podmnožinami souboru Y.
Li X je diffeologický prostor a ~ je několik vztah ekvivalence na X, pak množina kvocientu X / ~ má odlišnost generovanou všemi kompozicemi grafů X s projekcí z X na X/ ~. Tomu se říká kvocientová diffeologie. The kvocient D-topologie je D-topologie kvocientové diffeologie a že tato topologie může být triviální, aniž by diffeologie byla triviální.
Cartan De Rhamův počet lze vyvinout v rámci diffeologie, stejně jako svazky vláken, homotopy atd.
Hladké potrubí
Diferencovatelné potrubí také zobecnit hladkost. Obvykle jsou definovány jako topologické potrubí s atlasem, jehož přechodové mapy jsou hladké, který se používá k vytažení diferenciální struktury.
Každé takto definované hladké potrubí má přirozenou difeologii, pro kterou grafy odpovídají hladkým mapám z otevřených podmnožin Rn do potrubí. S touto diffeologií je mapa mezi dvěma hladkými varietami hladká právě tehdy, když je diferencovatelná v difeologickém smyslu. Proto plynulé rozdělovače s hladkými mapami tvoří úplnou podkategorii diffeologických prostorů.
To umožňuje uvést alternativní definici hladkého potrubí, které neobsahuje žádné odkazy na přechodové mapy nebo na konkrétní atlas: hladké potrubí je diffeologický prostor, který je místně odlišný od Rn.
Vztah mezi hladkými varietami a diffeologickými prostory je analogický se vztahem mezi topologickými varietami a topologickými prostory.
Tato metoda modelování diffeologické prostory lze rozšířit na další modely místních obyvatel, například: orbifolds, modelované na kvocientové prostory Rn/ Γ, kde Γ je konečná lineární podskupina nebo různá potrubí s hranicí a rohy, modelovaná na orthants, atd.
Příklady
- Žádný otevřeno podmnožina konečně-dimenzionálního reálného, a tedy komplexního, vektorového prostoru je diffeologický prostor.
- Jakékoli hladké potrubí je diffeologický prostor.
- Jakýkoli kvocient diffeologického prostoru je diffeologický prostor. Toto je snadný způsob, jak vytvořit různorodé diffeologie. Například sada reálná čísla R je hladké potrubí. Kvocient R/(Z + αZ), pro některé iracionální α, je iracionální torus, diffeologický prostor diffeomorfní k kvocientu pravidelného 2-torusu R2/Z2 řádkem sklon α. Má netriviální diffeologii, ale její D-topologie je triviální topologie.
externí odkazy
- Patrick Iglesias-Zemmour: Difeologie (kniha), Mathematical Surveys and Monographs, sv. 185, American Mathematical Society, Providence, RI USA [2013].
- Patrick Iglesias-Zemmour: Difeologie (mnoho dokumentů)