Orbitální stabilita - Orbital stability - Wikipedia

v matematická fyzika a teorie parciální diferenciální rovnice, osamělá vlna řešení formuláře ${ displaystyle u (x, t) = e ^ {- i omega t} phi (x) ,}$ se říká, že je orbitálně stabilní pokud existuje řešení s počáteční data dostatečně blízko ${ displaystyle phi (x) ,}$ navždy zůstane v daném malém sousedství trajektorie ${ displaystyle e ^ {- i omega t} phi (x) ,}$.

Formální definice

Formální definice je následující.^[1]Zvažte dynamický systém

${ displaystyle i { frac {du} {dt}} = A (u), qquad u (t) v X, quad t v mathbb {R},}$

s ${ displaystyle X ,}$ A Banachův prostor přes ${ displaystyle mathbb {C} ,}$,a ${ displaystyle A ,: X až X}$Předpokládáme, že systém je${ displaystyle mathrm {U} (1) ,}$-invariantní,aby${ displaystyle A (e ^ {is} u) = e ^ {is} A (u) ,}$ pro všechny ${ displaystyle u v X ,}$a jakékoli ${ displaystyle s in mathbb {R} ,}$.

Předpokládat, že ${ displaystyle omega phi = A ( phi) ,}$,aby ${ displaystyle u (t) = e ^ {- i omega t} phi ,}$ je řešení dynamického systému. Takové řešení nazýváme a osamělá vlna.

Říkáme, že osamělá vlna ${ displaystyle e ^ {- i omega t} phi ,}$je orbitálně stabilní, pokud existuje ${ displaystyle epsilon> 0 ,}$ tady je ${ displaystyle delta> 0 ,}$takový, že pro každého ${ displaystyle v_ {0} v X}$ s ${ displaystyle Vert phi -v_ {0} Vert _ {X} < delta ,}$existuje řešení ${ displaystyle v (t) ,}$ definováno pro všechny ${ displaystyle t geq 0}$takhle ${ displaystyle v (0) = v_ {0} ,}$, a takové, které toto řešení uspokojí

${ displaystyle sup _ {t geq 0} inf _ {s in mathbb {R}} Vert v (t) -e ^ {is} phi Vert _ {X} < epsilon.}$

Příklad

Podle ^[2],^[3]solitární řešení vln ${ displaystyle e ^ {- i omega t} phi _ { omega} (x) ,}$do nelineární Schrödingerova rovnice

${ displaystyle i { frac { částečné} { částečné t}} u = - { frac { částečné ^ {2}} { částečné x , ^ {2}}} u + g (| u | ^ {2}) u, qquad u (x, t) in mathbb {C}, quad x in mathbb {R}, quad t in mathbb {R},}$

kde ${ displaystyle g ,}$ je plynulá funkce se skutečnou hodnotou, je orbitálně stabilní pokud Kritérium stability Vakhitov – Kolokolov je spokojen:

${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( phi _ { omega}) <0,}$

kde

${ displaystyle Q (u) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R}} | u (x, t) | ^ {2} , dx}$

je nabít řešení ${ displaystyle u (x, t) ,}$, který je zachován v čase (alespoň pokud řešení ${ displaystyle u (x, t) ,}$je dostatečně hladký).

Bylo také ukázáno,^[4][5]to když ${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( omega) <0}$ při konkrétní hodnotě ${ displaystyle omega ,}$, pak osamělá vlna${ displaystyle e ^ {- i omega t} phi _ { omega} (x) ,}$je Lyapunov stabilní, s Lyapunovova funkce dána ${ displaystyle L (u) = E (u) - omega Q (u) + gama (Q (u) -Q ( phi _ { omega})) ^ {2} ,}$,kde${ displaystyle E (u) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R}} vlevo (| { frac { částečné u} { částečné x}} | ^ {2 } + G (| u | ^ {2}) vpravo) , dx}$je energie řešení ${ displaystyle u (x, t) ,}$,s ${ displaystyle G (y) = int _ {0} ^ {y} g (z) , dz}$ primitivní funkce ${ displaystyle g ,}$, pokud je konstanta${ displaystyle Gamma> 0 ,}$ je zvolena dostatečně velká.

Viz také

• Teorie stability
  • Asymptotická stabilita
  • Lineární stabilita
  • Stabilita Lyapunova
  • Kritérium stability Vakhitov - Kolokolov

Reference