Delta funktor - Delta-functor
v homologická algebra, a δ-funktor mezi dvěma abelianské kategorie A a B je sbírka funktory z A na B společně se sbírkou morfismy které splňují vlastnosti zobecňující vlastnosti odvozené funktory. A univerzální δ-funktor je δ-funktor splňující specifickou univerzální vlastnost související s rozšiřováním morfismů za „stupeň 0“. Tyto pojmy zavedl Alexander Grothendieck v jeho "Tohoku papír "poskytnout vhodné nastavení pro odvozené funktory.[1] Zejména odvozené funktory jsou univerzální δ-funktory.
Podmínky homologický δ-funktor a cohomologický δ-funktor se někdy používají k rozlišení mezi případy, kdy morfismy „klesají“ (homologický) a případ, kdy „jdou nahoru“ (cohomologické). Zejména jeden z těchto modifikátorů je vždy implicitní, i když často není uveden.
Definice
Vzhledem ke dvěma abelianským kategoriím A a B A kovarianční cohomologický δ-funktor mezi A a B je rodina {Tn} z kovariantní aditivní funktory Tn : A → B indexováno podle nezáporná celá čísla a pro každého krátká přesná sekvence
rodina morfismů
indexovány nezápornými celými čísly splňujícími následující dvě vlastnosti:
1. Pro každou krátkou přesnou sekvenci, jak je uvedeno výše, existuje a dlouhá přesná sekvence
2. Pro každý morfismus krátkých přesných sekvencí
a pro každou nezápornou n, indukovaný čtverec
je komutativní (δn nahoře odpovídá to krátké krátké posloupnosti Mzatímco dolní část odpovídá krátké přesné posloupnosti N's).
Druhá vlastnost vyjadřuje funkčnost δ-funktoru. Modifikátor „cohomological“ naznačuje, že δn zvýšit index na T. A kovarianční homologický δ-funktor mezi A a B je podobně definován (a obecně používá dolní indexy), ale s δn morfismus Tn(M '') → Tn-1(M '). Pojmy kontravariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B a kontrariantní homologický δ-funktor mezi A a B lze také definovat „obrácením šipek“.
Morfismy δ-funktorů
A morfismus δ-funktorů je rodina přirozené transformace že pro každou krátkou přesnou sekvenci dojíždíme s morfismem δ. Například v případě dvou kovariančních cohomologických δ-funktorů označených S a T, morfismus z S na T je rodina Fn : Sn → Tn přirozených transformací tak, že pro každou krátkou přesnou sekvenci
následující schéma dojíždí:
Univerzální δ-funktor
A univerzální δ-funktor se vyznačuje (univerzální ) vlastnost, která z ní dává morfismus kterémukoli jinému δ-funktoru (mezi A a B) je ekvivalent k dávat jen F0. Li S označuje kovariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B, pak S je univerzální, je-li uveden jakýkoli jiný (kovarianční cohomologický) δ-funktor T (mezi A a B) a vzhledem k jakékoli přirozené transformaci
existuje jedinečná sekvence Fn indexována kladnými celými čísly tak, že rodina { Fn }n ≥ 0 je morfismus δ-funktorů.
Viz také
Poznámky
Reference
- Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 9 (2–3), PAN 0102537
- Oddíl XX.7 Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556, Zbl 0984.00001
- Oddíl 2.1 Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. PAN 1269324. OCLC 36131259.