Delta funktor - Delta-functor

v homologická algebra, a δ-funktor mezi dvěma abelianské kategorie A a B je sbírka funktory z A na B společně se sbírkou morfismy které splňují vlastnosti zobecňující vlastnosti odvozené funktory. A univerzální δ-funktor je δ-funktor splňující specifickou univerzální vlastnost související s rozšiřováním morfismů za „stupeň 0“. Tyto pojmy zavedl Alexander Grothendieck v jeho "Tohoku papír "poskytnout vhodné nastavení pro odvozené funktory.[1] Zejména odvozené funktory jsou univerzální δ-funktory.

Podmínky homologický δ-funktor a cohomologický δ-funktor se někdy používají k rozlišení mezi případy, kdy morfismy „klesají“ (homologický) a případ, kdy „jdou nahoru“ (cohomologické). Zejména jeden z těchto modifikátorů je vždy implicitní, i když často není uveden.

Definice

Vzhledem ke dvěma abelianským kategoriím A a B A kovarianční cohomologický δ-funktor mezi A a B je rodina {Tn} z kovariantní aditivní funktory Tn : AB indexováno podle nezáporná celá čísla a pro každého krátká přesná sekvence

rodina morfismů

indexovány nezápornými celými čísly splňujícími následující dvě vlastnosti:

1. Pro každou krátkou přesnou sekvenci, jak je uvedeno výše, existuje a dlouhá přesná sekvence

DeltaFunctorLongExactSequence.png

2. Pro každý morfismus krátkých přesných sekvencí

Morfismus krátkých přesných sekvencí.png

a pro každou nezápornou n, indukovaný čtverec

DeltaFunctorFunctoriality.png

je komutativní (δn nahoře odpovídá to krátké krátké posloupnosti Mzatímco dolní část odpovídá krátké přesné posloupnosti N's).

Druhá vlastnost vyjadřuje funkčnost δ-funktoru. Modifikátor „cohomological“ naznačuje, že δn zvýšit index na T. A kovarianční homologický δ-funktor mezi A a B je podobně definován (a obecně používá dolní indexy), ale s δn morfismus Tn(M '') → Tn-1(M '). Pojmy kontravariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B a kontrariantní homologický δ-funktor mezi A a B lze také definovat „obrácením šipek“.

Morfismy δ-funktorů

A morfismus δ-funktorů je rodina přirozené transformace že pro každou krátkou přesnou sekvenci dojíždíme s morfismem δ. Například v případě dvou kovariančních cohomologických δ-funktorů označených S a T, morfismus z S na T je rodina Fn : Sn → Tn přirozených transformací tak, že pro každou krátkou přesnou sekvenci

následující schéma dojíždí:

MorphismOfDeltaFunctors.png

Univerzální δ-funktor

A univerzální δ-funktor se vyznačuje (univerzální ) vlastnost, která z ní dává morfismus kterémukoli jinému δ-funktoru (mezi A a B) je ekvivalent k dávat jen F0. Li S označuje kovariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B, pak S je univerzální, je-li uveden jakýkoli jiný (kovarianční cohomologický) δ-funktor T (mezi A a B) a vzhledem k jakékoli přirozené transformaci

existuje jedinečná sekvence Fn indexována kladnými celými čísly tak, že rodina { Fn }n ≥ 0 je morfismus δ-funktorů.

Viz také

Poznámky

Reference

  • Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 9 (2–3), PAN  0102537