Delta funktor - Delta-functor

v homologická algebra, a δ-funktor mezi dvěma abelianské kategorie A a B je sbírka funktory z A na B společně se sbírkou morfismy které splňují vlastnosti zobecňující vlastnosti odvozené funktory. A univerzální δ-funktor je δ-funktor splňující specifickou univerzální vlastnost související s rozšiřováním morfismů za „stupeň 0“. Tyto pojmy zavedl Alexander Grothendieck v jeho "Tohoku papír "poskytnout vhodné nastavení pro odvozené funktory.^[1] Zejména odvozené funktory jsou univerzální δ-funktory.

Podmínky homologický δ-funktor a cohomologický δ-funktor se někdy používají k rozlišení mezi případy, kdy morfismy „klesají“ (homologický) a případ, kdy „jdou nahoru“ (cohomologické). Zejména jeden z těchto modifikátorů je vždy implicitní, i když často není uveden.

Definice

Vzhledem ke dvěma abelianským kategoriím A a B A kovarianční cohomologický δ-funktor mezi A a B je rodina {Tⁿ} z kovariantní aditivní funktory Tⁿ : A → B indexováno podle nezáporná celá čísla a pro každého krátká přesná sekvence

${ displaystyle 0 rightarrow M ^ { prime} rightarrow M rightarrow M ^ { prime prime} rightarrow 0}$

rodina morfismů

${ displaystyle delta ^ {n}: T ^ {n} (M ^ { prime prime}) rightarrow T ^ {n + 1} (M ^ { prime})}$

indexovány nezápornými celými čísly splňujícími následující dvě vlastnosti:

1. Pro každou krátkou přesnou sekvenci, jak je uvedeno výše, existuje a dlouhá přesná sekvence

2. Pro každý morfismus krátkých přesných sekvencí

a pro každou nezápornou n, indukovaný čtverec

je komutativní (δⁿ nahoře odpovídá to krátké krátké posloupnosti Mzatímco dolní část odpovídá krátké přesné posloupnosti N's).

Druhá vlastnost vyjadřuje funkčnost δ-funktoru. Modifikátor „cohomological“ naznačuje, že δⁿ zvýšit index na T. A kovarianční homologický δ-funktor mezi A a B je podobně definován (a obecně používá dolní indexy), ale s δ_n morfismus T_n(M '') → T_n-1(M '). Pojmy kontravariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B a kontrariantní homologický δ-funktor mezi A a B lze také definovat „obrácením šipek“.

Morfismy δ-funktorů

A morfismus δ-funktorů je rodina přirozené transformace že pro každou krátkou přesnou sekvenci dojíždíme s morfismem δ. Například v případě dvou kovariančních cohomologických δ-funktorů označených S a T, morfismus z S na T je rodina F_n : Sⁿ → Tⁿ přirozených transformací tak, že pro každou krátkou přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 rightarrow M ^ { prime} rightarrow M rightarrow M ^ { prime prime} rightarrow 0}$

následující schéma dojíždí:

Univerzální δ-funktor

A univerzální δ-funktor se vyznačuje (univerzální ) vlastnost, která z ní dává morfismus kterémukoli jinému δ-funktoru (mezi A a B) je ekvivalent k dávat jen F₀. Li S označuje kovariantní cohomologický δ-funktor mezi A a B, pak S je univerzální, je-li uveden jakýkoli jiný (kovarianční cohomologický) δ-funktor T (mezi A a B) a vzhledem k jakékoli přirozené transformaci

${ displaystyle F_ {0}: S ^ {0} rightarrow T ^ {0}}$

existuje jedinečná sekvence F_n indexována kladnými celými čísly tak, že rodina { F_n }_{n ≥ 0} je morfismus δ-funktorů.

Viz také

• Efektivní funktor

Poznámky

Reference

• Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 9 (2–3), PAN  0102537

• Oddíl XX.7 Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556, Zbl  0984.00001
• Oddíl 2.1 Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.