Coskewness - Coskewness - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti a statistika, coskewness je měřítkem toho, jak moc se tři náhodné proměnné mění společně. Coskewness je třetí standardizovaný kříž centrální moment, související s šikmost tak jako kovariance je spojen s rozptyl. V roce 1976 ho Krauss a Litzenberger použili ke zkoumání rizik v investování na akciovém trhu.^[1] Harvey a Siddique rozšířili aplikaci na riziko v roce 2000.^[2]

Pokud dvě náhodné proměnné vykazují pozitivní coskewness, budou mít tendenci podstoupit extrémní pozitivní odchylky současně. Podobně, pokud dvě náhodné proměnné vykazují negativní coskewness, budou mít tendenci podstoupit extrémní negativní odchylky současně.

Definice

Pro tři náhodné proměnné X, Y a Z, je statistika netriviální coskewness definována jako:^[3]

{ displaystyle S (X, Y, Z) = { frac { operatorname {E} left [(X- operatorname {E} [X]) (Y- operatorname {E} [Y]) (Z - operatorname {E} [Z]) right]} { sigma _ {X} sigma _ {Y} sigma _ {Z}}}}

kde E [X] je očekávaná hodnota z X, také známý jako průměr z X, a ${ displaystyle sigma _ {X}}$ je standardní odchylka z X.

Vlastnosti

Šikmost je speciální případ coskewness, když jsou tři náhodné proměnné identické:

{ displaystyle S (X, X, X) = { frac { operatorname {E} left [(X- operatorname {E} [X]) ^ {3} right]} { sigma _ {X } ^ {3}}} = { operatorname {skewness} [X]},}

U dvou náhodných proměnných X a Y, šikmost částky, X + Y, je

{ displaystyle S_ {X + Y} = {1 over sigma _ {X + Y} ^ {3}} { left [ sigma _ {X} ^ {3} S_ {X} +3 sigma _ {X} ^ {2} sigma _ {Y} S (X, X, Y) +3 sigma _ {X} sigma _ {Y} ^ {2} S (X, Y, Y) + sigma _ {Y} ^ {3} S_ {Y} vpravo]},}

kde S_X je šikmost z X a ${ displaystyle sigma _ {X}}$ je standardní odchylka z X. Z toho vyplývá, že součet dvou náhodných proměnných lze vychýlit (S_X+Y ≠ 0), i když obě náhodné proměnné mají izolovaný nulový sklon (S_X = 0 a S_Y = 0).

Coskewness mezi proměnnými X a Y nezávisí na rozsahu, ve kterém jsou proměnné vyjádřeny. Pokud analyzujeme vztah mezi X a Y, coskewness mezi X a Y bude stejný jako coskewness mezi A + bX a C + dY, kde A, b, C, a d jsou konstanty.

Příklad

Nechat X být standardně normálně distribuován a Y je distribuce získaná nastavením X=Y kdykoli X<0 a kresba Y nezávisle na standardu poloviční normální rozdělení kdykoli X> 0. Jinými slovy, X a Y jsou oba standardně normálně distribuovány s vlastností, že jsou zcela korelované pro záporné hodnoty a nekorelované kromě znaménka pro kladné hodnoty. Funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu je

{ displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = { frac {e ^ {- x ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} vlevo (H (-x) delta (xy) + 2H (x) H (y) { frac {e ^ {- y ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} vpravo)}

kde H(X) je Funkce Heaviside step a δ (X) je Diracova delta funkce. Třetí momenty lze snadno vypočítat integrací s ohledem na tuto hustotu:

{ displaystyle S (X, X, Y) = S (X, Y, Y) = - { frac {1} { sqrt {2 pi}}} přibližně -0,399}

Všimněte si, že ačkoli X a Y jsou jednotlivě standardně normálně rozděleny, rozdělení součtu X+Y je výrazně vychýlená. Od integrace s ohledem na hustotu zjistíme, že kovariance X a Y je

{ displaystyle operatorname {cov} (X, Y) = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}}}

z čehož vyplývá, že směrodatná odchylka jejich součtu je

{ displaystyle sigma _ {X + Y} = { sqrt {3 + { frac {2} { pi}}}}}

Pomocí výše uvedeného vzorce součtu šikmosti máme

{ displaystyle S_ {X + Y} = - { frac {3 { sqrt {2}} pi} {(2 + 3 pi) ^ {3/2}}} přibližně -0,345}

To lze také vypočítat přímo z funkce hustoty pravděpodobnosti součtu:

{ displaystyle f_ {X + Y} (u) = { frac {e ^ {- u ^ {2} / 8}} {2 { sqrt {2 pi}}}} H (-u) + { frac {e ^ {- u ^ {2} / 4}} { sqrt { pi}}} operatorname {erf} left ({ frac {u} {2}} right) H (u) }

Viz také

Reference

^ Příteli, Irwin; Randolf Westerfield (1980). „Co-Skewness a oceňování kapitálových aktiv“. The Journal of Finance. 35 (4): 897–913. doi:10.1111 / j.1540-6261.1980.tb03508.x.
^ Jondeau, Eric; Ser-Huang Poon; Michael Rockinger (2007). Finanční modelování pod negaussovským rozdělením. Springer. 31–32. ISBN 978-1-84628-696-4.
^ Miller, Michael B. (2014). "Kapitola 3. Základní statistiky". Matematika a statistika pro řízení finančních rizik (2. vyd.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. str. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2.

Další čtení

Harvey, Campbell R .; Akhtar Siddique (2000). „Podmíněná šikmost v testech stanovení cen aktiv“ (PDF). The Journal of Finance. 55 (3): 1263–1295. CiteSeerX 10.1.1.46.5155. doi:10.1111/0022-1082.00247.
Kraus, Alan; Robert H. Litzenberger (1976). „Preference šikmosti a ocenění rizikových aktiv“. The Journal of Finance. 31 (4): 1085–1100. doi:10.1111 / j.1540-6261.1976.tb01961.x.

[1] Příteli, Irwin; Randolf Westerfield (1980). „Co-Skewness a oceňování kapitálových aktiv“. The Journal of Finance. 35 (4): 897–913. doi:10.1111 / j.1540-6261.1980.tb03508.x.

[2] Jondeau, Eric; Ser-Huang Poon; Michael Rockinger (2007). Finanční modelování pod negaussovským rozdělením. Springer. 31–32. ISBN 978-1-84628-696-4.

[3] Miller, Michael B. (2014). "Kapitola 3. Základní statistiky". Matematika a statistika pro řízení finančních rizik (2. vyd.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. str. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2.

[1]

[2]

[3]