Rohová matice přenosu - Corner transfer matrix

v statistická mechanika, rohová matice přenosu popisuje účinek přidání kvadrantu do mřížky. Představil Rodney Baxter v roce 1968 jako rozšíření přenosové matice řádek po řádku Kramers-Wannier poskytuje účinnou metodu studia příhradové modely. Výpočty s rohovými přenosovými maticemi vedly Baxter k přesnému řešení model s tvrdým šestihranem v roce 1980.

Definice

Zvažte model IRF (interakce kolem obličeje), tj. Model čtvercové mřížky s a roztočit σ_i přiřazené každému webu i a interakce omezené na točení kolem společné tváře. Nechť je celková energie dána vztahem

${displaystyle E = součet _ {všechny tváře} epsilon vlevo (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} včas),}$

kde pro každou tvář okolní místa i, j, k a l jsou uspořádány následovně:

Pro mřížku s N weby, funkce oddílu je

${displaystyle Z_ {N} = součet _ {všechny nahoře točí} prod _ {všechny nahoře tváře} wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} včas),}$

kde součet přesahuje všechny možné konfigurace rotace a w je Boltzmannova hmotnost

${displaystyle wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) = exp left (-epsilon left (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) / k_ {B} Tight).}$

Pro zjednodušení zápisu používáme a feromagnetická Isingova mřížka kde každá rotace má hodnotu +1 nebo -1 a základní stav je dán všemi rotacemi (tj. celková energie je minimalizována, když mají všechny rotace v mřížce hodnotu +1). Předpokládáme také, že mřížka má čtyřnásobnou rotační symetrii (až do okrajových podmínek) a je odrazově invariantní. Tyto zjednodušující předpoklady nejsou zásadní a rozšíření definice na obecný případ je relativně jednoduché.

Nyní zvažte mřížkový kvadrant zobrazený níže:

Vnější hraniční místa, označená trojúhelníky, mají přiřazena otočení základního stavu (v tomto případě +1). Stránky označené prázdnými kruhy tvoří vnitřní hranice kvadrantu; jejich přidružené sady spinů jsou označeny {σ₁, ..., σ_m} a {σ '₁, ..., σ '_m}, kde σ₁ = σ '₁. K dispozici jsou 2^m možné konfigurace pro každou vnitřní hranici, takže definujeme 2^m×2^m matice vstupem od

${displaystyle A_ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) součet _ {interiér na vrcholu točí se} prod _ {všechny tváře} wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} včas).}$

Matice A, pak je rohová přenosová matice pro daný mřížkový kvadrant. Vzhledem k tomu, že vnější hraniční otočení jsou pevná a součet je za všechna vnitřní otočení, každý vstup z A je funkcí otáčení vnitřní hranice. Kroneckerova delta ve výrazu zajišťuje, že σ₁ = σ '₁, takže vhodným objednáním konfigurací můžeme obsazení A jako bloková diagonální matice:

${displaystyle {egin {array} {cccc} && {egin {array} {ccccc} sigma _ {1} '= + 1 &&&& sigma _ {1}' = - 1end {array}} A & = & left [{egin {array} {ccccccc} &&& | & A _ {+} && | && 0 &&& | - & - & - & | & - & - & - &&& | & 0 && | && A _ {-} &&& | konec {pole}} vpravo] & {egin {array} {c} sigma _ {1} = + 1 sigma _ {1} = - 1end {array}} konec {pole}}}$

Rohové matice přenosu jsou spojeny s funkcí oddílu jednoduše. V našem zjednodušeném příkladu konstruujeme úplnou mřížku ze čtyř otočených kopií mřížkového kvadrantu, kde se vnitřní hraniční spinové sady σ, σ ', σ "a σ'" mohou lišit:

Funkce oddílu je poté zapsána z hlediska rohové matice přenosu A tak jako

${displaystyle Z_ {N} = součet _ {sigma, sigma ', sigma' ', sigma' '}} A_ {sigma | sigma'} A_ {sigma '| sigma' '} A_ {sigma' '| sigma' '' } A_ {sigma '' '| sigma} = {extrm {tr}} A ^ {4}.}$

Diskuse

Rekurzivní vztah

Rohová přenosová matice A_2^m (definováno pro m×m kvadrant) lze vyjádřit pomocí menších rohových přenosových matic A_2^m-1 a A_2^m-2 (definované pro redukované (m-1)×(m-1) a (m-2)×(m-2) kvadranty). Tento rekurzivní vztah umožňuje v zásadě iterativní výpočet matice přenosu rohů pro jakýkoli mřížkový kvadrant konečné velikosti.

Stejně jako jejich protějšky mezi řádky mohou být rohové přenosové matice zapracovány do matic pro přenos obličeje, což odpovídá přidání jedné plochy do mřížky. U mřížkového kvadrantu uvedeného výše mají matice pro přenos obličeje velikost 2^m×2^m a definováno vstupně

${displaystyle left (U_ {i} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) cdots delta left (sigma _ {i-1}, sigma _ { i-1} 'ight) wleft (sigma _ {i}, sigma _ {i + 1}, sigma _ {i}', sigma _ {i-1} ight) delta left (sigma _ {i + 1}, sigma _ {i + 1} ight) cdots delta left (sigma _ {m}, sigma _ {m} ight),}$

kde 2 ≤ i ≤ m+1. Konkrétně blízko vnější hranice máme

${displaystyle left (U_ {m} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) cdots delta left (sigma _ {m-1}, sigma _ { m-1} 'ight) wleft (sigma _ {m}, + 1, sigma _ {m}', sigma _ {m-1} ight),}$

${displaystyle left (U_ {m + 1} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) cdots delta left (sigma _ {m}, sigma _ { m} 'ight) wleft (+ 1, + 1, + 1, sigma _ {m} ight).}$

Takže rohová přenosová matice A faktorizuje jako

${displaystyle A = F_ {2} cdots F_ {m + 1},}$

kde

${displaystyle F_ {j} = U_ {m + 1} cdots U_ {j}.}$

Graficky to odpovídá:

Požadujeme také 2^m×2^m matice A* a A**, definováno vstupem

${displaystyle left (A ^ {*} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) A_ {sigma _ {2}, ldots, sigma _ {m } | sigma _ {2} ', ldots, sigma _ {m}'},}$

${displaystyle left (A ^ {**} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}'ight) delta left (sigma _ {2}, sigma _ {2 } 'ight) A_ {sigma _ {3}, ldots, sigma _ {m} | sigma _ {3}', ldots, sigma _ {m} '},}$

Kde A matice, jejichž záznamy se objevují na RHS, mají velikost 2^m-1×2^m-1 a 2^m-2×2^m-2 resp. Jasněji se to píše jako

${displaystyle A ^ {*} = I_ {2} často A_ {2 ^ {m-1}} = vlevo [{egin {array} {cc} A & 0 0 & Aend {array}} vpravo],}$

${displaystyle A ^ {**} = I_ {2} otimes I_ {2} otimes A_ {2 ^ {m-2}} = left [{egin {array} {cccc} A & 0 & 0 & 0 0 & A & 0 & 0 0 & 0 & A & 0 0 & 0 & 0 & A & {pole} } dobře].}$

Nyní z definic A, A*, A**, U_i a F_j, my máme

${displaystyle A ^ {*} = F_ {3} cdots F_ {m + 1}, A ^ {**} = F_ {4} cdots F_ {m + 1}}$

${displaystyle Rightarrow A = F_ {2} A ^ {*}, A ^ {*} = F_ {3} A ^ {**}}$

${displaystyle Rightarrow A = A ^ {*} vlevo (A ^ {**} ight) ^ {- 1} U_ {2} A ^ {*},}$

což dává relaci rekurze pro A_2^m ve smyslu A_2^m-1 a A_2^m-2.

Diagonální forma

Při použití matic pro přenos rohů k provádění výpočtů je analyticky i numericky výhodné místo toho pracovat s jejich diagonálními tvary. Aby se to usnadnilo, může být rekurzní vztah přepsán přímo z hlediska diagonální formy a vlastní matice z A, A* a A**.

Připomeňme si, že mřížka v našem příkladu je odrazově neměnná v tom smyslu

${displaystyle wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) = wleft (sigma _ {k}, sigma _ {j}, sigma _ {i}, sigma _ {l} ight) = wleft (sigma _ {i}, sigma _ {l}, sigma _ {k}, sigma _ {j} ight),}$

vidíme to A je symetrická matice (tj. je diagonalizovatelná pomocí ortogonální matice ). Takže píšeme

${displaystyle A = alpha _ {m} PA_ {d} P ^ {T},}$

kde A_d je diagonální matice (normalizovaná tak, že její číselně největší položka je 1), α_m je největší vlastní hodnota z A, a P^TP = Já. Stejně tak pro A* a A**, my máme

${displaystyle A ^ {*} = alfa _ {m-1} P ^ {*} A_ {d} ^ {*} vlevo (P ^ {*} vpravo) ^ {T},}$

${displaystyle A ^ {**} = alfa _ {m-2} P ^ {**} A_ {d} ^ {**} vlevo (P ^ {**} vpravo) ^ {T},}$

kde A_d*, A_d**, P* a P** jsou definovány analogickým způsobem jako A* a A**, tj. z hlediska menších (normalizovaných) diagonálních forem a (ortogonálních) vlastních vektorových matic A_2^m-1 a A_2^m-2.

Dosazením těchto diagonalizací do rekurzivního vztahu získáme

${displaystyle A_ {t} = kappa RA_ {d} R ^ {T},}$

kde

${displaystyle kappa = {frac {alpha _ {m} alpha _ {m-2}} {alpha _ {m-1} ^ {2}}},}$

${displaystyle R = left (P ^ {*} ight) ^ {T} P,}$

${displaystyle A_ {t} = A_ {d} ^ {*} vlevo (R ^ {*} ight) ^ {T} vlevo (A_ {d} ^ {**} ight) ^ {- 1} U_ {2} R ^ {*} A_ {d} ^ {*}.}$

Nyní A_t je také symetrický a lze jej vypočítat, pokud A_d*, A_d** a R* jsou známy; diagonalizace A_t pak získá svou normalizovanou diagonální formu A_d, jeho největší vlastní číslo κa její ortogonální vlastní vektorová matice R.

Aplikace

Hodnota očekávané rotace

Rohové matice přenosu (nebo jejich úhlopříčné tvary) lze použít k výpočtu veličin, jako je rotace očekávaná hodnota na konkrétním místě hluboko uvnitř mřížky. Pro dříve uvedenou plnou mřížku je hodnota očekávané rotace v centrálním místě dána vztahem

${displaystyle leftlangle sigma _ {1} ightangle = {frac {1} {Z_ {N}}} součet _ {vše nahoře točí} sigma _ {1} prod _ {všechny nahoře tváře} wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} včas).}$

S konfiguracemi uspořádanými takhle A je bloková úhlopříčka jako dříve, můžeme definovat 2^m×2^m diagonální matice

${displaystyle S = left [{egin {array} {cc} I & 0 0 & -Iend {array}} ight],}$

takhle

${displaystyle leftlangle sigma _ {1} ightangle = {frac {{extrm {tr}} SA ^ {4}} {{extrm {tr}} A ^ {4}}} = {frac {{extrm {tr}} alfa _ {m} ^ {4} PSA ^ {4} P ^ {T}} {{extrm {tr}} alfa _ {m} ^ {4} PA ^ {4} P ^ {T}}} = {frac {{extrm {tr}} SA_ {d} ^ {4}} {{extrm {tr}} A_ {d} ^ {4}}}.}$

Funkce rozdělení na stránky

Další důležitou veličinou pro mřížové modely je funkce rozdělení na místo, hodnocená v termodynamický limit a napsáno jako

${displaystyle kappa = lim _ {Nightarrow infty} left (Z_ {N} ight) ^ {1 / N}.}$

V našem příkladu se to sníží na

${displaystyle kappa = lim _ {Nightarrow infty} left (alpha _ {m} ^ {4} {extrm {tr}} A_ {d} ^ {4} ight) ^ {1 / N} sim alpha _ {m} ^ {4 / N},}$

od tr A_d⁴ je konvergentní součet jako m → ∞ a A_d stává se nekonečně-dimenzionálním. Dále počet tváří 2m(m+1) se blíží počtu stránek N v termodynamickém limitu, takže máme

${displaystyle alpha _ {m} sim kappa ^ {mleft (m + 1ight) / 2},}$

což je v souladu s dřívější rovnicí κ jako největší vlastní číslo pro A_t. Jinými slovy, funkce rozdělení na místo je dána přesně vztahem diagonalizované rekurze pro rohové přenosové matice v termodynamickém limitu; to dovoluje κ být aproximován iteračním procesem výpočtu A_d pro velkou mříž.

Příslušné matice však rostou exponenciálně, a ve skutečných numerických výpočtech musí být v každém kroku zkráceny. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je ponechat n největší vlastní čísla v každém kroku, pro některé pevná n. Ve většině případů posloupnost aproximací získaných převzetím n = 1,2,3, ... konverguje rychle a na přesnou hodnotu (pro přesně řešitelný model).

Viz také

• Metoda přenosové matice

Reference

• Baxter, R. J. (1981), "Rohové přenosové matice", Physica A, 106 (1–2): 18–27, Bibcode:1981PhyA..106 ... 18B, doi:10.1016 / 0378-4371 (81) 90203-X
• Baxter, R. J. (1982), Přesně vyřešené modely ve statistické mechanice, Londýn, Velká Británie: Academic Press, ISBN  0-12-083180-5