Copeland – Erdőova konstanta - Copeland–Erdős constant - Wikipedia

The Copeland – Erdőova konstanta je zřetězení "0." se základními 10 reprezentacemi prvočísla v pořádku. Jeho hodnota, s využitím moderní definice prvočísla,^[1] je přibližně

0,235711131719232931374143… (sekvence A033308 v OEIS ).

Konstanta je iracionální; to lze dokázat pomocí Dirichletova věta o aritmetických postupech nebo Bertrandův postulát (Hardy a Wright, str. 113) nebo Ramareova věta že každé sudé celé číslo je součtem nejvýše šesti prvočísel. Vyplývá to také přímo z jeho normality (viz níže).

Podobným argumentem může být jakákoli konstanta vytvořená zřetězením „0.“ se všemi prvočísly v aritmetický postup dn + A, kde A je coprime na d a do 10 bude iracionální. Např. prvočísla formy 4n + 1 nebo 8n + 1. Podle Dirichletovy věty, aritmetické progrese dn·10^m + A obsahuje prvočísla pro všechny ma tato prvočísla jsou také v CD + A, takže zřetězená prvočísla obsahují libovolně dlouhé sekvence číslice nula.

V základně 10 je konstanta a normální číslo, skutečnost prokázaná Arthur Herbert Copeland a Paul Erdős v roce 1946 (odtud název konstanty).^[2]

Konstanta je dána vztahem

${ displaystyle displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} p_ {n} 10 ^ {- left (n + sum _ {k = 1} ^ {n} lfloor log _ {10} {p_ {k}} rfloor right)}}$

kde p_n je nth prvočíslo.

Své pokračující zlomek je [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1,…] (OEIS: A030168).

Související konstanty

Důkaz Copelanda a Erdőse, že jejich konstanta je normální, závisí pouze na tom, že ${ displaystyle p_ {n}}$ se přísně zvyšuje a ${ displaystyle p_ {n} = n ^ {1 + o (1)}}$, kde ${ displaystyle p_ {n}}$ je n^th prvočíslo. Obecněji, pokud ${ displaystyle s_ {n}}$ je jakákoli striktně rostoucí posloupnost přirozených čísel taková ${ displaystyle s_ {n} = n ^ {1 + o (1)}}$ a ${ displaystyle b}$ je jakékoli přirozené číslo větší nebo rovno 2, pak konstanta získaná zřetězením „0.“ se základnou${ displaystyle b}$ reprezentace ${ displaystyle s_ {n}}$Je normální v základně ${ displaystyle b}$. Například sekvence ${ displaystyle lfloor n ( log n) ^ {2} rfloor}$ splňuje tyto podmínky, takže konstanta 0,003712192634435363748597110122136… je v základu 10 normální a 0,003101525354661104…₇ je normální v základně 7.

V jakékoli dané základně b číslo

${ displaystyle displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b ^ {- p_ {n}}, ,}$

které lze zapsat do základny b jako 0,0110101000101000101…_bKde nth číslice je 1 právě tehdy n je prvotřídní, je iracionální.^[3]

Viz také

• Smarandache – Wellinova čísla: zkrácená hodnota této konstanty vynásobená příslušnou mocí 10.
• Champernownova konstanta: zřetězení všech přirozených čísel, nejen prvočísel.

Reference

Zdroje

• Copeland, A. H.; Erdős, P. (1946), "Poznámka k normálním číslům", Bulletin of the American Mathematical Society, 52: 857–860, doi:10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979) [1938], Úvod do teorie čísel (5. vydání), Oxford University Press, ISBN  0-19-853171-0.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Copeland-Erdos Constant“. MathWorld.