Chlazení a topení (kombinatorická teorie her) - Cooling and heating (combinatorial game theory)

v kombinatorická teorie her, chlazení, topení, a přehřátí jsou operace na horké hry učinit je přístupnější tradičním metodám teorie, pro které byla původně navržena studené hry ve kterém je vítězem poslední hráč, který má legální tah.^[1]Přehřátí byl zobecněn uživatelem Elwyn Berlekamp pro analýzu Blockbusting.^[2]Chlazení (nebo bez tepla) a oteplování jsou varianty použité při analýze koncovky hry Jít.^[3][4]

Chlazení a chlazení lze považovat za daň za hráče, který se pohybuje, což jim umožňuje platit za výsadu, zatímco topení, ohřívání a přehřívání jsou operace, které víceméně reverzní chlazení a chlazení.

Základní operace: chlazení, topení

The chlazený hra ${ displaystyle G_ {t}}$ ("${ displaystyle G}$ chlazeno ${ displaystyle t}$") pro hru ${ displaystyle G}$ a a (surrealistické) číslo ${ displaystyle t}$ je definováno^[5]

${ displaystyle G_ {t} = { begin {cases} {G_ {t} ^ {L} -t mid G_ {t} ^ {R} + t } & { text {pro všechna čísla}} t leq { text {libovolné číslo}} tau { text {pro který}} G _ { tau} { text {je nekonečně blízko nějakému číslu}} m { text {,}} G_ { t} = m & { text {pro}} t> tau end {případy}}}$.

Částka ${ displaystyle t}$ kterými ${ displaystyle G}$ je chlazen je známý jako teplota; minimum ${ displaystyle tau}$ pro který ${ displaystyle G _ { tau}}$ je nekonečně blízko ${ displaystyle m}$ je známý jako teplota ${ displaystyle t (G)}$ z ${ displaystyle G}$; ${ displaystyle G}$ říká se zmrazit na ${ displaystyle G _ { tau}}$; ${ displaystyle m}$ je střední hodnota (nebo jednoduše znamenat) z ${ displaystyle G}$.

Topení je inverzní funkcí chlazení a je definována jako „integrální "^[6]

${ displaystyle int ^ {t} G = { begin {cases} G & { text {if}} G { text {je číslo,}} { int ^ {t} (G ^ { L}) + t mid int ^ {t} (G ^ {R}) - t } & { text {jinak. }} end {cases}}}$

Násobení a přehřátí

Násobení Norton je příponou násobení ke hře ${ displaystyle G}$ a pozitivní hra ${ displaystyle U}$ ("jednotka") definovaná^[7]

${ displaystyle GU = { begin {cases} G times s & { text {(tj. součet}} G { text {kopií}} s { text {) if}} G { text {je nezáporné celé číslo,}} - G times -s & { text {if}} G { text {je záporné celé číslo,}} {G ^ {L} .U + (U + I ) mid G ^ {R} .U- (U + I) } { text {kde}} I { text {se pohybuje nad}} Delta (U) & { text {jinak. }} end {cases}}}$

Pobídky ${ displaystyle Delta (U)}$ hry ${ displaystyle U}$ jsou definovány jako ${ displaystyle {u-U: u v U ^ {L} } pohár {U-u: u v U ^ {R} }}$.

Přehřátí je rozšíření vytápění používaného v Berlekamp's řešení z Blockbusting,kde ${ displaystyle G}$ přehřátý z ${ displaystyle s}$ na ${ displaystyle t}$ je definován pro libovolné hry ${ displaystyle G, s, t}$ s ${ displaystyle s> 0}$ tak jako^[8]

${ displaystyle int _ {s} ^ {t} G = { begin {cases} G.s & { text {if}} G { text {je celé číslo,}} { int _ { s} ^ {t} (G ^ {L}) + t mid int _ {s} ^ {t} (G ^ {R}) - t } & { text {jinak. }} end {cases}}}$

Vítězné způsoby také definuje přehřátí hry ${ displaystyle G}$ pozitivní hrou ${ displaystyle X}$, tak jako^[9]

${ displaystyle int _ {0} ^ {t} G = { int _ {0} ^ {t} (G ^ {L}) + X mid int _ {0} ^ {t} (G ^ {R}) - X }}$

Upozorňujeme, že v této definici se s čísly zachází jinak než s libovolnými hrami.

Všimněte si, že „dolní mez“ 0 to odlišuje od předchozí definice Berlekampa

Operace Go: chlazení a ohřívání

Chlazení je varianta chlazení pomocí ${ displaystyle 1}$ slouží k analýze Přejít na koncovku z Jít a je definována^[10]

${ displaystyle f (G) = { begin {cases} m & { text {if}} G { text {má formu}} m { text {nebo}} m * { text {,}} {f (G ^ {L}) - 1 mid F (G ^ {R}) + 1 } & { text {jinak}}. end {případy}}}$

To odpovídá chlazení pomocí ${ displaystyle 1}$ když ${ displaystyle G}$ je „dokonce elementární pozice Go v kanonické formě“.^[11]

Oteplování je zvláštní případ přehřátí, a to ${ displaystyle int _ {1 *} ^ {1}}$, obvykle psáno jednoduše jako ${ displaystyle int}$ který invertuje chlazení, když ${ displaystyle G}$ je „sudá elementární pozice Go v kanonické formě“. V tomto případě se předchozí definice zjednoduší na formu^[12]

${ displaystyle int G = { begin {cases} G & { text {if}} G { text {je sudé celé číslo,}} G * & { text {if}} G { text { je liché celé číslo,}} { int (G ^ {L}) + 1 mid int (G ^ {R}) - 1 } & { text {jinak. }} end {cases}}}$

Reference

Tento kombinatorika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.