Conwayův trojúhelníkový zápis - Conway triangle notation

v geometrie, Conwayův trojúhelníkový zápis, pojmenoval podle John Horton Conway, umožňuje trigonometrické funkce a trojúhelník být spravován algebraicky. Daný referenční trojúhelník, jehož strany jsou A, b a C a jehož odpovídající interní úhly jsou A, B, a C pak je Conwayova trojúhelníková notace jednoduše znázorněna následovně:

${displaystyle S = bcsin A = acsin B = absin C,}$

kde S = 2 × plocha referenčního trojúhelníku a

${displaystyle S_ {varphi} = Scot varphi.,}$

zejména

${displaystyle S_ {A} = Skot A = bccos A = {frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2}},}$

${displaystyle S_ {B} = Scot B = accos B = {frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}},}$

${displaystyle S_ {C} = Skot C = abcos C = {frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2}},}$

${displaystyle S_ {omega} = Skot omega = {frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2}},}$ kde ${displaystyle omega,}$ je Brocardův úhel. The zákon kosinů se používá: ${displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bccos A}$.

${displaystyle S_ {frac {pi} {3}} = Skot {frac {pi} {3}} = S {frac {sqrt {3}} {3}},}$

${displaystyle S_ {2varphi} = {frac {S_ {varphi} ^ {2} -S ^ {2}} {2S_ {varphi}}} quad quad S_ {frac {varphi} {2}} = S_ {varphi} + {sqrt {S_ {varphi} ^ {2} + S ^ {2}}},}$ pro hodnoty ${displaystyle varphi}$ kde ${displaystyle 0$

${displaystyle S_ {vartheta + varphi} = {frac {S_ {vartheta} S_ {varphi} -S ^ {2}} {S_ {vartheta} + S_ {varphi}}} čtyřkolka S_ {vartheta -varphi} = {frac {S_ {vartheta} S_ {varphi} + S ^ {2}} {S_ {varphi} -S_ {vartheta}}} ,.}$

Konvence dále používá zkratkovou notaci pro ${displaystyle S_ {vartheta} S_ {varphi} = S_ {vartheta varphi},}$ a ${displaystyle S_ {vartheta} S_ {varphi} S_ {psi} = S_ {vartheta varphi psi} ,.}$

Proto:

${displaystyle sin A = {frac {S} {bc}} = {frac {S} {sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} quad quad cos A = {frac {S_ { A}} {bc}} = {frac {S_ {A}} {sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} quad quad an A = {frac {S} {S_ {A }}},}$

${displaystyle a ^ {2} = S_ {B} + S_ {C} čtyřkolka čtyřkolka b ^ {2} = S_ {A} + S_ {C} čtyřkolka čtyřkolka c ^ {2} = S_ {A} + S_ {B } ,.}$

Některé důležité identity:

${displaystyle sum _ {ext {cyklický}} S_ {A} = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} = S_ {omega},}$

${displaystyle S ^ {2} = b ^ {2} c ^ {2} -S_ {A} ^ {2} = a ^ {2} c ^ {2} -S_ {B} ^ {2} = a ^ {2} b ^ {2} -S_ {C} ^ {2},}$

${displaystyle S_ {BC} = S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} -a ^ {2} S_ {A} quad quad S_ {AC} = S_ {A} S_ {C} = S ^ { 2} -b ^ {2} S_ {B} quad quad S_ {AB} = S_ {A} S_ {B} = S ^ {2} -c ^ {2} S_ {C},}$

${displaystyle S_ {ABC} = S_ {A} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} (S_ {omega} -4R ^ {2}) quad quad S_ {omega} = s ^ {2} - r ^ {2} -4rR,}$

kde R je circumradius a abc = 2SR a kde r je stimulant,   ${displaystyle s = {frac {a + b + c} {2}},}$ a ${displaystyle a + b + c = {frac {S} {r}},}}$

Některé užitečné trigonometrické převody:

${displaystyle sin Asin Bsin C = {frac {S} {4R ^ {2}}} quad quad cos Acos Bcos C = {frac {S_ {omega} -4R ^ {2}} {4R ^ {2}}}}$

${displaystyle sum _ {ext {cyclic}} sin A = {frac {S} {2Rr}} = {frac {s} {R}} quad quad sum _ {ext {cyklický}} cos A = {frac {r + R} {R}} quad quad sum _ {ext {cyklický}} an A = {frac {S} {S_ {omega} -4R ^ {2}}} = an A an B an C ,.}$

Některé užitečné vzorce:

${displaystyle sum _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} = a ^ {2} S_ {A} + b ^ {2} S_ {B} + c ^ {2} S_ {C} = 2S ^ {2} quad quad sum _ {ext {cyklický}} a ^ {4} = 2 (S_ {omega} ^ {2} -S ^ {2}),}$

${displaystyle sum _ {ext {cyclic}} S_ {A} ^ {2} = S_ {omega} ^ {2} -2S ^ {2} quad quad sum _ {ext {cyklický}} S_ {BC} = součet _ {ext {cyclic}} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} quad quad sum _ {ext {cyklický}} b ^ {2} c ^ {2} = S_ {omega} ^ {2} + S ^ {2} ,.}$

Některé příklady používající Conwayovu trojúhelníkovou notaci:

Nechat D je vzdálenost mezi dvěma body P a Q, jejichž trilineární souřadnice jsou p_A : p_b : p_C a q_A : q_b : q_C. Nechat K._p = ap_A + bp_b + str_C a nechte K._q = vod_A + bq_b + CQ_C. Pak D je dáno vzorcem:

${displaystyle D ^ {2} = součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} vlevo ({frac {p_ {a}} {K_ {p}}} - {frac {q_ {a} } {K_ {q}}} ight) ^ {2} ,.}$

Pomocí tohoto vzorce je možné určit OH, vzdálenost mezi circumcenterem a ortocentrum jak následuje:

Pro circumcentera p_A = tak jako_A a pro ortocentrum q_A = S_BS_C/A

${displaystyle K_ {p} = součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} = 2S ^ {2} quad quad K_ {q} = součet _ {ext {cyklický}} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} ,.}$

Proto:

${displaystyle {egin {aligned} D ^ {2} & {} = sum _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} vlevo ({frac {aS_ {A}} {2S ^ {2}} } - {frac {S_ {B} S_ {C}} {aS ^ {2}}} ight) ^ {2} & {} = {frac {1} {4S ^ {4}}} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {4} S_ {A} ^ {3} - {frac {S_ {A} S_ {B} S_ {C}} {S ^ {4}}} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} + {frac {S_ {A} S_ {B} S_ {C}} {S ^ {4}}} součet _ {ext {cyklický}} S_ {B} S_ {C} & {} = {frac {1} {4S ^ {4}}} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} ^ {2} (S ^ {2} -S_ {B} S_ {C}) - 2 (S_ {omega} -4R ^ {2}) + (S_ {omega} -4R ^ {2}) & {} = {frac {1} {4S ^ {2}}} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} ^ {2} - {frac {S_ {A} S_ {B} S_ {C}} {S ^ {4}}} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} S_ {A} - (S_ {omega} -4R ^ {2}) & {} = {frac {1} {4S ^ {2}}} součet _ {ext {cyklický }} a ^ {2} (b ^ {2} c ^ {2} -S ^ {2}) - {frac {1} {2}} (S_ {omega} -4R ^ {2}) - (S_ {omega} -4R ^ {2}) & {} = {frac {3a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}} {4S ^ {2}}} - {frac {1} {4 }} součet _ {ext {cyklický}} a ^ {2} - {frac {3} {2}} (S_ {omega} -4R ^ {2}) & {} = 3R ^ {2} - {frac {1} {2}} S_ {omega} - {frac {3} {2}} S_ {omega} + 6R ^ {2} & {} = 9R ^ {2} -2S_ {omega}. End {zarovnáno }}}$

To dává:

${displaystyle OH = {sqrt {9R ^ {2} -2S_ {omega},}}.}$

Reference

• Weisstein, Eric W. „Conway Triangle Notation“. MathWorld.