Konverzní věta - Converse theorem

V matematické teorii automorfní formy, a konverzační věta poskytuje dostatečné podmínky pro a Dirichletova řada být Mellinova transformace modulární formy. Obecněji konverzní věta říká, že reprezentace algebraické skupiny nad adeles je automorfní, kdykoli se dobře chovají L-funkce různých zvratů.

Weilova konverzační věta

První konverzační věty byly prokázány Hamburger  (1921 ) který charakterizoval Funkce Riemann zeta jeho funkční rovnicí a Hecke (1936) který ukázal, že pokud Dirichletova série jistě uspokojí funkční rovnice a některé podmínky růstu pak to bylo Mellinova transformace a modulární forma úrovně 1. Weil (1967) našel rozšíření k modulárním formám vyšší úrovně, které popsal Ogg (1969, kapitola V). Weilovo rozšíření uvádí, že ne-li jen Dirichletova řada

${ displaystyle L (s) = součet { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

ale také jeho zvraty

${ displaystyle L _ { chi} (s) = součet { frac { chi (n) a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

některými Dirichletovy postavy χ, vyhovět vhodným funkčním rovnicím vztahujícím se k hodnotám při s a 1−s, pak je Dirichletova řada v podstatě Mellinova transformace modulární formy určité úrovně.

Vyšší rozměry

J. W. Cogdell, H. Jacquet, I. I. Piatetski-Shapiro a J. Shalika rozšířili konverzní větu na automorfní formy u některých skupin vyšších dimenzí, zejména GL_n a GL_m× GL_n, v dlouhé sérii příspěvků.

Reference

• Cogdell, James W .; Piatetski-Shapiro, I. I. (1994), "Konverzní věty pro GL_n", Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 79 (79): 157–214, doi:10.1007 / BF02698889, ISSN  1618-1913, PAN  1307299
• Cogdell, James W .; Piatetski-Shapiro, I. I. (1999), „Converse theorems for GL_n. II ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 507 (507): 165–188, doi:10.1515 / crll.1999.507.165, ISSN  0075-4102, PAN  1670207
• Cogdell, James W .; Piatetski-Shapiro, I. I. (2002), „Konverze vět, funktoriality a aplikací na teorii čísel“, v Li, Tatsien (ed.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Peking, 2002), Peking: Vyšší ed. Press, str. 119–128, arXiv:matematika / 0304230, Bibcode:Matematika 2003 ... 4230C, ISBN  978-7-04-008690-4, PAN  1957026
• Cogdell, James W. (2007), "L-funkce a konverzní věty pro GL_n" v Sarnaku Peter; Shahidi, Freydoon (eds.), Automorfní formy a aplikace, IAS / Park City Math. Ser., 12„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 97–177, ISBN  978-0-8218-2873-1, PAN  2331345
• Hamburger, Hans (1921), „Über die Riemannsche Funktionalgleichung der ζ-Funktion“, Mathematische Zeitschrift, 10 (3): 240–254, doi:10.1007 / BF01211612, ISSN  0025-5874
• Hecke, E. (1936), „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung“, Mathematische Annalen, 112 (1): 664–699, doi:10.1007 / BF01565437, ISSN  0025-5831
• Ogg, Andrew (1969), Modulární formy a Dirichletovy řady, W. A. ​​Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, PAN  0256993
• Weil, André (1967), „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen“, Mathematische Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007 / BF01361551, ISSN  0025-5831, PAN  0207658

externí odkazy

• Cogdellovy články o konverzních větách