Konstrukce v hyperbolické geometrii - Constructions in hyperbolic geometry - Wikipedia

Hyperbolická geometrie je neeuklidovská geometrie kde první čtyři axiomy Euklidovská geometrie jsou zachovány, ale pátý axiom, paralelní postulát, se změnilo. Pátý axiom hyperbolické geometrie říká, že daný řádek L a bod P ne na této lince, procházejí alespoň dvě linky P které jsou paralelní s L.[1] Stejně jako v euklidovské geometrii, kde starořečtí matematici použil kompas a idealizované pravítko pro stavby délek, úhlů a dalších geometrických obrazců lze konstrukce také vytvářet v hyperbolické geometrii.

Pseudosféra

Modely hyperbolické geometrie

Existuje několik modelů pro hyperbolickou geometrii, což může usnadnit provádění a vizualizaci konstrukcí. Části hyperbolické roviny lze umístit na a pseudosféra a udržovat úhly a hyperbolické vzdálenosti, stejně jako se ohýbat kolem pseudosféry a stále si zachovávat jeho vlastnosti.[2] Avšak ne celá hyperbolická rovina může být umístěna na pseudosféru jako model, pouze část hyperbolické roviny.[2]

Disk Poincare s hyperbolickými paralelními liniemi

Celá hyperbolická rovina může být také umístěna na a Poincaré disk a udržovat jeho úhly. Čáry se však promění v kruhové oblouky, které je zdeformují.[2]

Nástroje

v hyperbolická geometrie, lze použít standardní pravítko a kompas, které se často používají Geometrie euklidovské roviny. Existuje však řada kompasů a pravítek vyvinutých pro hyperbolické stavby.

A hyperkompass lze použít ke konstrukci a hypercyklus vzhledem k ose a poloměru.[3] A horokompas lze použít ke konstrukci a horocykl konkrétním bodem, pokud jsou také uvedeny průměr a směr. Oba také vyžadují rovnou hranu, jako standard pravítko.[3] Když děláte stavby v hyperbolické geometrii, pokud používáte správné pravítko pro konstrukci, tři kompasy (tj. Horokompas, hyperkompas a standardní kompas ) mohou všichni provádět stejné konstrukce.[3]

A paralelní pravítko lze použít k nakreslení čáry daným bodem A a rovnoběžně s daným paprskem A[3]. Pro libovolné dva řádky, a hyperbolický vládce lze použít ke konstrukci přímky, která je rovnoběžná s první přímkou ​​a kolmá k druhé.[3]

Několik poznámek o použití pravítek je:

  • Paralelní pravítko lze použít ke konstrukci všeho, co může postavit standardní pravítko a tři pravítka[3]
  • Paralelní pravítko může fungovat jako pravítko v euklidovské geometrii[3]
  • Hyperbolické pravítko nemůže provádět euklidovské geometrické konstrukce[3]
  • V hyperbolické geometrii lze konstrukce, které lze provádět pomocí kteréhokoli ze tří kompasů uvedených výše a paralelního pravítka, provádět také pomocí hyperbolického pravítka[3]

Jednoduché konstrukce

Úhlová osa

Zvažte daný úhel ᗉ IAI '≠π/ 2 radiány, jejichž úhlová osa je hledáno. To má za následek dva různé případy: buď ᗉ IAI '<π/ 2 radiány nebo ᗉ IAI '>π/ 2 radiány.[3] Pro oba případy je potřeba hyperbolické pravítko ke konstrukci čáry BI 'kde BI' je kolmý k AI a paralelně k AI “. Vytvořte také přímku B'I, kde B'I je kolmá na AI 'a rovnoběžná s AI.[3]

Případ 1: ᗉ IAI '< π/ 2 radiány

Nechť C je průsečík BI 'a B'I. Výsledkem je, že přímka AC půlí ᗉ IAI '.[3]

Případ 2: ᗉ IAI '>π/ 2 radiány

Tento případ se dále člení na tři dílčí případy:

  • Případ 2a: IB protíná I'B
    • Nechť A 'je křižovatkou IB' a I'B. Potom AA 'je úhlová přímka ᗉ IAI'.[3]
  • Případ 2b: IB 'je paralelní s I'B
    • Vytvořte úsečku BB 'a pomocí hyperbolického pravítka sestrojte úsečku OI "tak, aby OI" byla kolmá k BB' a rovnoběžná s B'I ". Potom je úsečka OA úhlovou přímkou ​​pro ᗉ IAI '.[3]
  • Případ 2c: IB 'je ultraparalelní do IB.
    • Za použití ultraparalelní věta, zkonstruujte společnou kolmu IB 'a I'B, CC'. Nechť průsečík CB "a BC 'bude D. Výsledkem bude, že AD bude úhlová přímka ᗉ BDB'. Zjistili jsme, že přímka procházející OD je také úhlovou přímkou ​​ᗉ IAI '.[3]

Společná paralelní linka se dvěma linkami

Uvažujeme problém najít linii rovnoběžnou se dvěma danými liniemi, A a A'. Existují tři případy: A a A' protínají v bodě O, A a A' jsou navzájem rovnoběžné a A a A' jsou navzájem ultraparalelní.[3]

Případ 1: a a 'protínají v bodě O,

Rozdělte jeden z úhlů vytvořených těmito dvěma čarami a pojmenujte úhlovou přímku b. Pomocí hyperbolického pravítka vytvořte čáru C takhle C je kolmá na b a paralelně s A. Jako výsledek, C je rovnoběžná s A', tvorba C společná rovnoběžka s přímkami A a A'.[3]

Případ 2: a a a 'jsou navzájem paralelní

Pomocí hyperbolického pravítka vytvořte AI 'tak, aby AI' byla paralelní s A' a kolmo na A. Postavte další přímku A'I tak, aby A'I byla rovnoběžná s A a kolmo na A'. Nechť průsečík AI 'a A'I je B. Protože ᗉ IBI'>π/ 2 radiány, případ se nyní hraje jako případ 1, což umožňuje konstrukci společné paralely s BI a BI '.[3]

Případ 3: a a a jsou vzájemně ultraparalelní

Pomocí hyperbolického pravítka vytvořte BI 'tak, aby BI' bylo kolmé na A a paralelně s A' a zkonstruujte přímku B'I tak, aby B'I byla kolmá na A' a paralelně s A způsobem, který staví BI 'a B'I na stejnou stranu společné kolmé na A a a ', které lze najít pomocí ultraparalelní věta. Nechť průsečík BI 'a B'I je C. Pak ᗉ ICI' ≠π/ 2 radiány, což vám umožní dokončit stavbu jako v ostatních dvou případech.[3]

Přímka kolmá na jinou přímku v bodě

Předpokládejme, že máte čáru A a bod A na této přímce a chcete zkonstruovat přímku kolmou na A a přes A. Pak nechte A' být přímkou ​​přes A kde A a A' jsou dvě odlišné linie. Pak budete mít jeden ze dvou případů.[3]

Případ 1: a je kolmá na a '

V tomto případě již máme přímku kolmou na A přes A.[3]

Případ 2: a a a 'nejsou navzájem kolmé

Pomocí hyperbolického pravítka zkonstruujte přímku BI tak, aby byla BI kolmá A a paralelně s A'. Vytvořte také přímku CI 'takovou, že CI' je kolmá na A a paralelně s A' ale v opačném směru než BI. Nyní nakreslete čáru II „takže II“ je společná rovnoběžka s BI a I'C. The ultraparalelní věta nyní nám umožňuje vytvořit společnou kolmo na II "a A protože tyto dva řádky jsou ultraparalelní. Tato společná kolmice je nyní přímka kolmá na A a přes A.[3]

Střed úsečky

Předpokládejme, že se snažíte najít střed úsečky AB. Potom zkonstruujte přímku AI tak, aby AI prošla A a kolmo na AB. Vytvořte také přímku BI 'tak, že BI' protíná AB v B a je kolmá na AB. Nyní zkonstruujte linii II 'tak, že II' je společná paralela s AI a BI '.[3] Zkonstruujte společnou kolmo na II 'a AB, kterou lze provést pomocí ultraparalelní věta protože II 'a AB jsou navzájem ultraparalelní. Pojmenujte tento řádek CC '. C nyní končí jako střed AB.[3]

Definice složitých konstrukcí

Když dáte úhlu kladné nebo záporné znaménko, úhel ᗉ XYZ bude kladný, pokud je směr nejkratší dráhy od XY do YZ proti směru hodinových ručiček.

Pro účely následujících definic budou vytvořeny následující předpoklady, které obvykle nelze vytvořit v hyperbolické geometrii

  • Tři odlišné body vytvářejí jedinečný kruh[4]
  • Vzhledem k tomu, že existují dvě linie, setkávají se v jedinečném bodě[4] (normálně by to odporovalo paralelnímu axiomu hyperbolické geometrie, protože paralelně se stejnou linií může existovat mnoho různých linií[1])
  • Úhlové míry mají znaky. Zde budou definovány následujícím způsobem: Vezměme si trojúhelník XYZ. Znaménko úhlu ᗉ XYZ je kladné právě tehdy, když je směr dráhy podél nejkratšího oblouku ze strany XY na stranu YZ proti směru hodinových ručiček. Obrázek trojúhelníku vpravo to popisuje. Chcete-li provést srovnání, při práci s jednotkový kruh, měření úhlu je kladné, když jde proti směru hodinových ručiček, a záporné, když jde ve směru hodinových ručiček.[4]

Cyklické čtyřstěny

Čtyřúhelník je cyklický jestliže dva protilehlé vrcholy sečtou až pi radiánů nebo 180 stupňů.[4] Také pokud je čtyřúhelník vepsán do kruhu způsobem, že všechny jeho vrcholy leží na kruhu, je cyklický.[5]

Pseudoaltitude

Vezměme si trojúhelník ABC, kde jsou body označeny ve směru hodinových ručiček, takže všechny úhly jsou kladné. Nechť X je bod pohybující se podél BC z B do C. Jak se X přibližuje k C, úhel ᗉAXB se zmenší a úhel ᗉ AXC se zvětší. Když je X dostatečně blízko k B, ᗉ AXB> ᗉ AXC. Když je X dostatečně blízko k C, ᗉ AXB <ᗉ AXC. To znamená, že v určitém okamžiku bude X v poloze, kde ᗉ AXB = ᗉ AXC. Když je X v této poloze, je definováno jako úpatí pseudoaltitude z vrcholu A.[4] Pseudoaltitude by pak byla úsečka AX.[4]

Zde by příklady pseudoaltitude byly A.1H1, A2H2a A.3H3.

Pseudolengths

Nechť dE(A, B) označují pseudodélku pro daný hyperbolický úsečkový segment AB. Nechte transformaci přesunout A do středu a Poincaré disk s poloměrem rovným 1. Pseudo délka dE(A, B) je délka tohoto segmentu v euklidovské geometrii.[4]

Homothety

Vzhledem k bodu P, bodu A, kde A je střed homothety, a číslu k, které představuje poměr homothety, je homothety transformace, která posune P do bodu P ', kde P' je na paprsku AP a dE(A, P ') = k · dE(A, P).[4]

Věta o třech hlupácích

Zvažte tři kruhy ω1, ω2, a ω3 ve společné rovině. Ať P1 být průsečík dvou vnějších tečen z ω2 a ω3. Ať P2 a P3 lze nalézt stejným způsobem. Věta Three Dunce Caps Theorem pak říká, že P1, P2a P.3 všechny leží na stejné linii.[4]

Důkaz: Zkonstruujte kouli na vrcholu každého kruhu a poté sestrojte rovinu tečnou k těmto třem sférám. Rovina protíná rovinu, na které leží kruhy, na přímce obsahující P1, P2a P.3. Tyto body jsou také centry homothety pro kruhy, ze kterých byly odvozeny.[4]

Použití na sférickou geometrii

Algebraicky, hyperbolické a sférická geometrie mají stejnou strukturu.[4] To nám umožňuje aplikovat koncepty a věty na jednu geometrii na druhou.[4] Použití hyperbolické geometrie na sférickou geometrii může usnadnit pochopení, protože koule jsou mnohem konkrétnější, což usnadňuje konceptualizaci sférické geometrie.

Reference

  1. ^ A b Cannon, James W .; Floyd, William J .; Kenyon, Richard; Perry, Walter R. (1997). „Hyperbolická geometrie“ (PDF). library.msri.org. Citováno 2018-12-13.
  2. ^ A b C Rothe, Franz (07.09.06). „Hyperbolická geometrie a pseudo-sféra“ (PDF). math2.uncc.edu. Archivovány od originál (PDF) dne 01.01.2018. Citováno 2018-12-13.
  3. ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X Al-Dhahir, M. W. (1962). „Nástroj v hyperbolické geometrii“. Proceedings of the American Mathematical Society. 13 (2): 298–304. doi:10.1090 / S0002-9939-1962-0138036-7. JSTOR  2034487.
  4. ^ A b C d E F G h i j k l Akopyan, Arseniy V. (2011-05-11). "Na některých klasických konstrukcích rozšířených na hyperbolickou geometrii". arXiv:1105.2153 [math.MG ].
  5. ^ 1938-, Leonard, I. Vyd. (04.06.2014). Klasická geometrie: euklidovská, transformační, inverzní a projektivní. Lewis, J. E. (James Edward), Liu, A. C. F. (Andrew Chiang-Fung), Tokarsky, G. W. Hoboken, NJ. ISBN  9781118839430. OCLC  861966488.CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)