Konzistentní a nekonzistentní rovnice - Consistent and inconsistent equations - Wikipedia

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Konzistentní a nekonzistentní rovnice“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika a zejména v algebra, a lineární nebo nelineární soustava rovnic je nazýván konzistentní pokud existuje alespoň jedna sada hodnot pro neznámé, která splňuje každou rovnici v systému - tj. kdy nahrazeno do každé z rovnic způsobí, že každá rovnice bude platit jako identita. Naproti tomu se nazývá lineární nebo nelineární systém rovnic nekonzistentní pokud pro neznámé neexistuje žádná sada hodnot, která splňuje všechny rovnice.

Pokud je soustava rovnic nekonzistentní, je možné s rovnicemi manipulovat a kombinovat je tak, aby byly získány protichůdné informace, například 2 = 1, nebo X³ + y³ = 5 a X³ + y³ = 6 (což znamená 5 = 6).

Oba typy systému rovnic, konzistentní i nekonzistentní, mohou být libovolné předurčeno (mít více rovnic než neznámých), podurčeno (s méně rovnicemi než neznámými) nebo přesně určeno.

Jednoduché příklady

Nedostatečné a důsledné

Systém

${ displaystyle x + y + z = 3,}$

${ displaystyle x + y + 2z = 4}$

má nekonečné množství řešení, všechna mají z = 1 (jak je vidět odečtením první rovnice od druhé), a proto všechny mají x + y = 2 pro všechny hodnoty X a y.

Nelineární systém

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 10,}$

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 5}$

má nekonečné množství řešení, vše zahrnuje ${ displaystyle z = pm { sqrt {5}}.}$

Protože každý z těchto systémů má více než jedno řešení, jedná se o neurčitý systém.

Nedostatečné a nekonzistentní

Systém

${ displaystyle x + y + z = 3,}$

${ displaystyle x + y + z = 4}$

nemá žádná řešení, jak je vidět odečtením první rovnice od druhé a získání nemožné 0 = 1.

Nelineární systém

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 17,}$

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 14}$

nemá žádná řešení, protože pokud je jedna rovnice odečtena od druhé, získáme nemožné 0 = 3.

Přesně odhodlaný a důsledný

Systém

${ displaystyle x + y = 3,}$

${ displaystyle x + 2y = 5}$

má právě jedno řešení: X = 1, y = 2.

Nelineární systém

${ displaystyle x + y = 1,}$

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

má dvě řešení (x, y) = (1, 0) a (x, y) = (0, 1), zatímco

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${ displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${ displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 34}$

má nekonečné množství řešení, protože třetí rovnice je první rovnice plus dvakrát druhá a proto neobsahuje žádné nezávislé informace; tedy libovolná hodnota z lze zvolit a hodnoty X a y lze zjistit, že splňují první dvě (a tedy třetí) rovnice.

Přesně stanovený a nekonzistentní

Systém

${ displaystyle x + y = 3,}$

${ displaystyle 4x + 4y = 10}$

nemá žádná řešení; nekonzistenci lze vidět vynásobením první rovnice 4 a odečtením druhé rovnice, abychom získali nemožnou 0 = 2.

Rovněž,

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${ displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${ displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 32}$

je nekonzistentní systém, protože první rovnice plus dvakrát druhá mínus třetí obsahuje rozpor 0 = 2.

Předurčené a důsledné

Systém

${ displaystyle x + y = 3,}$

${ displaystyle x + 2y = 7,}$

${ displaystyle 4x + 6y = 20}$

má řešení, X = –1, y = 4, protože první dvě rovnice si navzájem neodporují a třetí rovnice je nadbytečná (protože obsahuje stejné informace, jaké lze získat z prvních dvou rovnic vynásobením každé z nich 2 a jejich součtem).

Systém

${ displaystyle x + 2y = 7,}$

${ displaystyle 3x + 6y = 21,}$

${ displaystyle 7x + 14y = 49}$

má nekonečno řešení, protože všechny tři rovnice poskytují stejné informace jako ostatní (jak je vidět vynásobením první rovnice buď 3 nebo 7). Libovolná hodnota y je součástí řešení s odpovídající hodnotou X být 7–2 r.

Nelineární systém

${ displaystyle x ^ {2} -1 = 0,}$

${ displaystyle y ^ {2} -1 = 0,}$

${ displaystyle (x-1) (y-1) = 0}$

má tři řešení (x, y) = (1, –1), (–1, 1) a (1, 1).

Předurčené a nekonzistentní

Systém

${ displaystyle x + y = 3,}$

${ displaystyle x + 2y = 7,}$

${ displaystyle 4x + 6y = 21}$

je nekonzistentní, protože poslední rovnice je v rozporu s informacemi vloženými do prvních dvou, jak je vidět, vynásobením každé z prvních dvou až o 2 a jejich součtem.

Systém

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1,}$

${ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = 2,}$

${ displaystyle 2x ^ {2} + 3r ^ {2} = 4}$

je nekonzistentní, protože součet prvních dvou rovnic odporuje třetí rovnici.

Kritéria pro soudržnost

Jak je patrné z výše uvedených příkladů, konzistence versus nekonzistence je jiný problém než porovnávání počtu rovnic a neznámých.

Lineární systémy

Lineární systém je konzistentní kdyby a jen kdyby své matice koeficientu má to samé hodnost stejně jako jeho rozšířená matice (matice koeficientu s přidaným dalším sloupcem, přičemž tento sloupec je vektor sloupce konstant).

Nelineární systémy