Společný prostorový vzor - Common spatial pattern

Společný prostorový vzor (CSP) je matematický postup používaný v zpracování signálu pro oddělení a vícerozměrný signál do přísada subkomponenty, které mají maximální rozdíly v rozptyl mezi dvěma Okna.^[1]

Detaily

Nechat ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ velikosti ${ displaystyle (n, t_ {1})}$ a ${ displaystyle mathbf {X} _ {2}}$ velikosti ${ displaystyle (n, t_ {2})}$ být dvěma okny vícerozměrného signál, kde ${ displaystyle n}$ je počet signálů a ${ displaystyle t_ {1}}$ a ${ displaystyle t_ {2}}$ je příslušný počet vzorků.

Algoritmus CSP určuje komponentu ${ displaystyle mathbf {w} ^ { text {T}}}$ tak, že poměr rozptyl (nebo druhého řádu moment ) je maximalizován mezi dvěma okny:

${ displaystyle mathbf {w} = { arg max} _ { mathbf {w}} { frac { left | mathbf {wX} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {wX} _ {2} right | ^ {2}}}}$

Řešení je dáno výpočtem těchto dvou kovarianční matice:

${ displaystyle mathbf {R} _ {1} = { frac { mathbf {X} _ {1} mathbf {X} _ {1} ^ { text {T}}} {t_ {1}} }}$

${ displaystyle mathbf {R} _ {2} = { frac { mathbf {X} _ {2} mathbf {X} _ {2} ^ { text {T}}} {t_ {2}} }}$

Poté simultánní diagonalizace těch dvou matice (také zvaný generalizovaný rozklad vlastních čísel ) je realizován. Najdeme matici vlastní vektory ${ displaystyle mathbf {P} = { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {1} & cdots & mathbf {p} _ {n} end {bmatrix}}}$ a diagonální matice ${ displaystyle mathbf {D}}$ z vlastní čísla ${ displaystyle { lambda _ {1}, cdots, lambda _ {n} }}$ seřazeno podle sestupného pořadí tak, aby:

${ displaystyle mathbf {P} ^ { mathrm {T}} mathbf {R} _ {1} mathbf {P} = mathbf {D}}$

a

${ displaystyle mathbf {P} ^ { mathrm {T}} mathbf {R} _ {2} mathbf {P} = mathbf {I} _ {n}}$

s ${ displaystyle mathbf {I} _ {n}}$ the matice identity.

To je ekvivalentní s vlastní složení z ${ displaystyle mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} mathbf {R} _ {1}}$:

${ displaystyle mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} mathbf {R} _ {1} = mathbf {PDP} ^ {- 1}}$

${ displaystyle mathbf {w} ^ { text {T}}}$ bude odpovídat prvnímu sloupci ${ displaystyle mathbf {P}}$:

${ displaystyle mathbf {w} = mathbf {p} _ {1} ^ { text {T}}}$

Diskuse

Vztah mezi poměrem odchylek a vlastní hodnotou

Vlastní vektory skládají ${ displaystyle mathbf {P}}$ jsou komponenty s poměrem odchylek mezi dvěma okny rovnými jejich odpovídajícím vlastním číslům:

${ displaystyle mathbf { lambda} _ {i} = { frac { left | mathbf {p} _ {i} ^ { text {T}} mathbf {X} _ {1} vpravo | ^ {2}} { left | mathbf {p} _ {i} ^ { text {T}} mathbf {X} _ {2} right | ^ {2}}}}$

Ostatní komponenty

The vektorový podprostor ${ displaystyle E_ {i}}$ generované ${ displaystyle i}$ první vlastní vektory ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {1} & cdots & mathbf {p} _ {i} end {bmatrix}}}$ bude podprostor maximalizující poměr rozptylu všech komponent, které k němu patří:

${ displaystyle E_ {i} = { arg max} _ {E} { begin {pmatrix} min _ {p in E} { frac { left | mathbf {p ^ { text { T}} X} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {p ^ { text {T}} X} _ {2} right | ^ {2}} } end {pmatrix}}}$

Stejným způsobem vektorový podprostor ${ displaystyle F_ {j}}$ generované ${ displaystyle j}$ poslední vlastní vektory ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {n-j + 1} & cdots & mathbf {p} _ {n} end {bmatrix}}}$ bude podprostor minimalizující poměr odchylek všech komponent, které k němu patří:

${ displaystyle F_ {j} = { arg min} _ {F} { začátek {pmatrix} max _ {p in F} { frac { left | mathbf {p ^ { text { T}} X} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {p ^ { text {T}} X} _ {2} right | ^ {2}} } end {pmatrix}}}$

Rozptyl nebo moment druhého řádu

CSP lze použít po a znamenat odčítání (neboli „střední centrování“) na signálech za účelem realizace optimalizace poměru rozptylu. Jinak CSP optimalizuje poměr momentu druhého řádu.

Volba oken X₁ a X₂

• Standardní použití spočívá ve výběru oken tak, aby odpovídala dvěma časovým obdobím s různou aktivací zdrojů (např. Během odpočinku a během konkrétního úkolu).
• Je také možné zvolit dvě okna, aby odpovídala dvěma různým frekvenčním pásmům, aby bylo možné najít komponenty se specifickým frekvenčním vzorem.^[2] Tato frekvenční pásma mohou být dočasná nebo frekvenční. Protože matice ${ displaystyle mathbf {P}}$ záleží pouze na kovariančních maticích, stejných výsledků lze dosáhnout, pokud je zpracování aplikováno na Fourierova transformace signálů.
• Y. Wang ^[3] navrhl konkrétní volbu pro první okno ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ za účelem extrakce složek, které mají určité období. ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ byl průměr různých období pro zkoumané signály.
• Pokud je pouze jedno okno, ${ displaystyle mathbf {R} _ {2}}$ lze považovat za matici identity a pak odpovídá CSP Analýza hlavních komponent.

Aplikace

Tuto metodu lze použít na několik vícerozměrných signálů, ale zdá se, že většina prací na ní se týká elektroencefalografické signály.

Tato metoda se používá zejména na rozhraní mozek-počítač za účelem získání komponentních signálů, které nejlépe přenášejí mozkovou aktivitu pro konkrétní úkol (např. pohyb rukou).^[4]

Lze jej také použít k oddělení artefaktů od elektroencefalografických signálů.^[2]

Společný prostorový vzor je třeba přizpůsobit pro analýzu potenciály související s událostmi.^[5]

Viz také

• Oddělení slepého signálu

Reference