Uzavřená konvexní funkce - Closed convex function

v matematika, a funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ se říká, že je Zavřeno pokud pro každého ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$, sada podúrovní${ displaystyle {x v { mbox {dom}} f vert f (x) leq alpha }}$je uzavřená sada.

Ekvivalentně, pokud epigraf definován${ displaystyle { mbox {epi}} f = {(x, t) v mathbb {R} ^ {n + 1} vert x v { mbox {dom}} f, ; f ( x) leq t }}$je zavřená, pak funkce ${ displaystyle f}$ je zavřený.

Tato definice je platná pro jakoukoli funkci, ale nejpoužívanější pro konvexní funkce. A správná konvexní funkce je zavřený kdyby a jen kdyby to je nižší polokontinuální.^[1] Pro konvexní funkci, která není správná, existuje neshoda ohledně definice uzavření funkce.^{[Citace je zapotřebí ]}

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ je spojitá funkce a ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$ je tedy zavřený ${ displaystyle f}$ je zavřený.
• Li ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ je spojitá funkce a ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$ je tedy otevřený ${ displaystyle f}$ je zavřený kdyby a jen kdyby konverguje k ${ displaystyle infty}$ podél každé sekvence konvergující k a hranice bod ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$.^[2]
• Uzavřená správná konvexní funkce F je bodový supremum sbírky všech afinní funkce h takhle h ≤ F (nazývá se afinní nezletilí z F).

Reference

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Konvexní analýza. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-01586-6.

Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.