Chandrasekhar viriální rovnice - Chandrasekhar virial equations

v astrofyzika, Chandrasekhar viriální rovnice jsou hierarchií okamžik rovnice Eulerovy rovnice, vyvinutý společností Indický Američan astrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar a fyzik Enrico Fermi a Norman R. Lebovitz.^[1]^[2]^[3]

Matematický popis

Zvažte tekutou hmotu ${ displaystyle M}$ objemu ${ displaystyle V}$ s hustota ${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t)}$ a izotropní tlak ${ displaystyle p ( mathbf {x}, t)}$ s mizejícím tlakem na ohraničující plochy. Tady, ${ displaystyle mathbf {x}}$ odkazuje na referenční rámec připojený k těžišti. Než popíšeme viriální rovnice, definujme některé momenty.

Momenty hustoty jsou definovány jako

{ displaystyle M = int _ {V} rho , d mathbf {x}, quad I_ {i} = int _ {V} rho x_ {i} , d mathbf {x}, quad I_ {ij} = int _ {V} rho x_ {i} x_ {j} , d mathbf {x}, quad I_ {ijk} = int _ {V} rho x_ {i } x_ {j} x_ {k} , d mathbf {x}, quad I_ {ijk ell} = int _ {V} rho x_ {i} x_ {j} x_ {k} x _ { ell} , d mathbf {x}, quad { text {atd.}}}

tlakové momenty jsou

{ displaystyle Pi = int _ {V} p , d mathbf {x}, quad Pi _ {i} = int _ {V} px_ {i} , d mathbf {x}, quad Pi _ {ij} = int _ {V} px_ {i} x_ {j} , d mathbf {x}, quad Pi _ {ijk} = int _ {V} px_ {i } x_ {j} x_ {k} d mathbf {x} quad { text {atd.}}}

momenty kinetické energie jsou

{ displaystyle T_ {ij} = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} , d mathbf {x}, quad T_ {ij; k } = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} , d mathbf {x}, quad T_ {ij; k ell } = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} x _ { ell} , d mathbf {x}, quad mathrm {atd.} }

a Chandrasekharův tenzor potenciální energie momenty jsou

{ displaystyle W_ {ij} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} , d mathbf {x}, quad W_ {ij; k} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} x_ {k} , d mathbf {x}, quad W_ {ij; k ell} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} x_ {k} x _ { ell} d mathbf {x}, quad mathrm {atd.} quad { text {kde}} quad Phi _ {ij} = G int _ {V} rho ( mathbf {x '}) { frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| mathbf {x} - mathbf {x'} | ^ {3}}} , d mathbf {x '}}

kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta.

Všechny tenzory jsou podle definice symetrické. Moment setrvačnosti ${ displaystyle I}$ , Kinetická energie ${ displaystyle T}$ a potenciální energie ${ displaystyle W}$ jsou jen stopy následujících tenzorů

{ displaystyle I = I_ {ii} = int _ {V} rho | mathbf {x} | ^ {2} , d mathbf {x}, quad T = T_ {ii} = { frac {1} {2}} int _ {V} rho | mathbf {u} | ^ {2} , d mathbf {x}, quad W = W_ {ii} = - { frac {1 } {2}} int _ {V} rho Phi , d mathbf {x} quad { text {kde}} quad Phi = Phi _ {ii} = int _ {V} { frac { rho ( mathbf {x '})} {| mathbf {x} - mathbf {x'} |}} , d mathbf {x '}}

Chandrasekhar předpokládal, že kapalná hmota je vystavena tlakové síle a své vlastní gravitační síle, pak Eulerovy rovnice je

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { částečné p} { částečné x_ {i}}} + rho { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}}, quad { text {kde}} quad { frac {d} {dt}} = { frac { částečné} { částečné t}} + u_ {j} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}}

Viriální rovnice prvního řádu

{ displaystyle { frac {d ^ {2} I_ {i}} {dt ^ {2}}} = 0}

Viriální rovnice druhého řádu

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + delta _ { ij} Pi}

V ustáleném stavu se rovnice stává

{ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} = - delta _ {ij} Pi}

Viriální rovnice třetího řádu

{ displaystyle { frac {1} {6}} { frac {d ^ {2} I_ {ijk}} {dt ^ {2}}} = 2 (T_ {ij; k} + T_ {jk; i } + T_ {ki; j}) + W_ {ij; k} + W_ {jk; i} + W_ {ki; j} + delta _ {ij} Pi _ {k} + delta _ {jk} Pi _ {i} + delta _ {ki} Pi _ {j}}

V ustáleném stavu se rovnice stává

{ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} = - delta _ {ij} Pi _ {K} - delta _ {ik} Pi _ {j}}

Virové rovnice v rotujícím referenčním rámci

The Eulerovy rovnice v rotujícím referenčním rámci, rotujícím s úhlovou rychlostí ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ je dána

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { částečné p} { částečné x_ {i}}} + rho { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}} + { frac {1} {2}} rho { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} | mathbf { Omega} krát mathbf {x } | ^ {2} +2 rho varepsilon _ {i ell m} u _ { ell} Omega _ {m}}

kde ${ displaystyle varepsilon _ {i ell m}}$ je Symbol Levi-Civita, ${ displaystyle { frac {1} {2}} | mathbf { Omega} times mathbf {x} | ^ {2}}$ je odstředivé zrychlení a ${ displaystyle 2 mathbf {u} krát mathbf { Omega}}$ je Coriolisovo zrychlení.

Rovnovážný stav viriální rovnice druhého řádu

V ustáleném stavu se viriální rovnice druhého řádu stává

{ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} + Omega ^ {2} I_ {ij} - Omega _ {i} Omega _ {k} I_ {kj} +2 epsilon _ {i ell m } Omega _ {m} int _ {V} rho u _ { ell} x_ {j} , d mathbf {x} = - delta _ {ij} Pi}

Pokud je osa otáčení zvolena v ${ displaystyle x_ {3}}$ směru se rovnice stává

{ displaystyle W_ {ij} + Omega ^ {2} (I_ {ij} - delta _ {i3} I_ {3j}) = - delta _ {ij} Pi}

a Chandrasekhar ukazuje, že v tomto případě mohou mít tenzory pouze následující podobu

{ displaystyle W_ {ij} = { begin {pmatrix} W_ {11} & W_ {12} & 0 W_ {21} & W_ {22} & 0 0 & 0 & W_ {33} end {pmatrix}}, quad I_ {ij} = { begin {pmatrix} I_ {11} & I_ {12} & 0 I_ {21} & I_ {22} & 0 0 & 0 & I_ {33} end {pmatrix}}}

Rovnovážný stav viriální rovnice třetího řádu

V ustáleném stavu se viriální rovnice třetího řádu stává

{ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + Omega ^ {2} I_ {ijk} - Omega _ {i } Omega _ { ell} I _ { ell jk} +2 varepsilon _ {i ell m} Omega _ {m} int _ {V} rho u _ { ell} x_ {j} x_ { k} , d mathbf {x} = - delta _ {ij} Pi _ {k} - delta _ {ik} Pi _ {j}}

Pokud je osa otáčení zvolena v ${ displaystyle x_ {3}}$ směru se rovnice stává

{ displaystyle W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + Omega ^ {2} (I_ {ijk} - delta _ {i3} I_ {3jk}) = - ( delta _ {ij} Pi _ {k} + delta _ {ik} Pi _ {j})}

Rovnovážný stav viriální rovnice čtvrtého řádu

S ${ displaystyle x_ {3}}$ je osou rotace, rovnovážný stav viriální rovnice čtvrtého řádu je také odvozen Chandrasekharem v roce 1968.^[4] Rovnice zní jako

{ displaystyle { frac {1} {3}} (2W_ {ij; kl} + 2W_ {ik; lj} + 2W_ {il; jk} + W_ {ij; k; l} + W_ {ik; l; j} + W_ {il; j; k}) + Omega ^ {2} (I_ {ijkl} - delta _ {i3} I_ {3jkl}) = - ( delta _ {ij} Pi _ {kl } + delta _ {ik} Pi _ {lj} + delta _ {il} Pi _ {jk})}

Virové rovnice s viskózními napětími

Zvažte Navier-Stokesovy rovnice namísto Eulerovy rovnice,

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { částečné p} { částečné x_ {i}}} + rho { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}} + { frac { částečné tau _ {ik}} { částečné x_ {k}}}, quad { text {kde}} quad tau _ {ik} = rho nu left ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {k}}} + { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {i}}} - { frac {2} {3}} { frac { částečné u_ {l}} { částečné x_ {l}}} delta _ {ik} vpravo)}

a definujeme tenzor smykové energie jako

{ displaystyle S_ {ij} = int _ {V} tau _ {ij} d mathbf {x}.}

S podmínkou, že normální složka celkového napětí na volném povrchu musí zmizet, tj. ${ displaystyle (-p delta _ {ik} + tau _ {ik}) n_ {k} = 0}$ , kde ${ displaystyle mathbf {n}}$ je vnější jednotka normální, pak bude viriální rovnice druhého řádu

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + delta _ { ij} Pi -S_ {ij}.}

To lze snadno rozšířit na rotující referenční rámec.

Viz také

Reference

^ Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). „Potenciály a superpotenciály homogenních elipsoidů“ (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Bibcode:1962ApJ ... 136.1037C. doi:10.1086/147456. Citováno 24. března 2012.
^ Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). „Problémy gravitační stability v přítomnosti magnetického pole“ (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode:1953ApJ ... 118..116C. doi:10.1086/145732. Citováno 24. března 2012.
^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Elipsoidní čísla rovnováhy. Sv. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
^ Chandrasekhar, S. (1968). Viriální rovnice čtvrtého řádu. The Astrophysical Journal, 152, 293. http://repository.ias.ac.in/74364/1/93-p-OCR.pdf

[1] Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). „Potenciály a superpotenciály homogenních elipsoidů“ (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Bibcode:1962ApJ ... 136.1037C. doi:10.1086/147456. Citováno 24. března 2012.

[2] Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). „Problémy gravitační stability v přítomnosti magnetického pole“ (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode:1953ApJ ... 118..116C. doi:10.1086/145732. Citováno 24. března 2012.

[3] Chandrasekhar, Subrahmanyan. Elipsoidní čísla rovnováhy. Sv. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.

[4] Chandrasekhar, S. (1968). Viriální rovnice čtvrtého řádu. The Astrophysical Journal, 152, 293. http://repository.ias.ac.in/74364/1/93-p-OCR.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]