Chandrasekharův tenzor potenciální energie - Chandrasekhar potential energy tensor

v astrofyzika, Chandrasekharův tenzor potenciální energie poskytuje gravitační potenciál těla díky své vlastní gravitaci vytvořené distribucí hmoty po těle, pojmenované podle Indický Američan astrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar.^[1][2][3] Chandrasekharův tenzor je zobecněním potenciální energie, jinými slovy, stopa Chandrasekharova tenzoru poskytuje potenciální energii těla.

Definice

Tenzor potenciální energie Chandrasekhar je definován jako

${ displaystyle W_ {ij} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} d mathbf {x} = int _ {V} rho x_ { i} { frac { částečné Phi} { částečné x_ {j}}} d mathbf {x}}$

kde

${ displaystyle Phi _ {ij} ( mathbf {x}) = G int _ {V} rho ( mathbf {x '}) { frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| mathbf {x} - mathbf {x'} | ^ {3}}} d mathbf {x '}, quad Rightarrow quad Phi _ {ii} = Phi = G int _ {V} { frac { rho ( mathbf {x '})} {| mathbf {x} - mathbf {x'} |}} d mathbf {X'} }$

kde

• ${ displaystyle G}$ je Gravitační konstanta
• ${ displaystyle Phi ( mathbf {x})}$ je samo-gravitační potenciál z Newtonův gravitační zákon
• ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ je zobecněná verze ${ displaystyle Phi}$
• ${ displaystyle rho ( mathbf {x})}$ je věc hustota rozdělení
• ${ displaystyle V}$ je objem těla

Je zřejmé, že ${ displaystyle W_ {ij}}$ je symetrický tenzor z jeho definice. Stopa tenzoru Chandrasekhar ${ displaystyle W_ {ij}}$ není nic jiného než potenciální energie ${ displaystyle W}$.

${ displaystyle W = W_ {ii} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi d mathbf {x} = int _ {V} rho x_ {i} { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}} d mathbf {x}}$

Chandrasekharův tenzor lze tedy považovat za zobecnění potenciální energie.^[4]

Chandrasekharův důkaz

Zvažte otázku objemu ${ displaystyle V}$ s hustotou ${ displaystyle rho ( mathbf {x})}$. Tím pádem

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {ij} & = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} d mathbf {x} & = - { frac {1} {2}} G int _ {V} int _ {V} rho ( mathbf {x}) rho ( mathbf {x '}) { frac {(x_ { i} -x_ {i} ') (x_ {j} -x_ {j}')} {| mathbf {x} - mathbf {x '} | ^ {3}}} d mathbf {x'} d mathbf {x} & = - G int _ {V} int _ {V} rho ( mathbf {x}) rho ( mathbf {x '}) { frac {x_ {i } (x_ {j} -x_ {j} ')} {| mathbf {x} - mathbf {x'} | ^ {3}}} d mathbf {x} d mathbf {x '} & = G int _ {V} d mathbf {x} rho ( mathbf {x}) x_ {i} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} int _ {V} d mathbf {x '} { frac { rho ( mathbf {x'})} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} & = int _ {V} rho x_ {i} { frac { částečné Phi} { částečné x_ {j}}} d mathbf {x} end {zarovnáno}}}$

Chandrasekharův tenzor, pokud jde o skalární potenciál

Skalární potenciál je definován jako

${ displaystyle chi ( mathbf {x}) = - G int _ {V} rho ( mathbf {x '}) | mathbf {x} - mathbf {x'} | d mathbf {x '}}$

pak Chandrasekhar^[5] to dokazuje

${ displaystyle W_ {ij} = delta _ {ij} W + { frac { částečné ^ {2} chi} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}}}$

Nastavení ${ displaystyle i = j}$ dostaneme ${ displaystyle nabla ^ {2} chi = -2W}$, přičemž Laplacian opět máme ${ displaystyle nabla ^ {4} chi = 8 pi G rho}$.

Viz také

• Virová věta
• Chandrasekhar viriální rovnice

Reference