V dynamice tekutin Beltrami teče jsou toky, ve kterých je vektor vorticity a vektor rychlosti jsou navzájem rovnoběžné. Jinými slovy, tok Beltrami je tok, kde Jehněčí vektor je nula. Je pojmenována po italském matematikovi Eugenio Beltrami kvůli jeho odvození Beltrami vektorové pole, zatímco počáteční vývoj dynamiky tekutin provedl ruský vědec Ippolit S.Gromeka v roce 1881.[1][2]
Popis
Protože vektor vorticity a vektor rychlosti jsou navzájem paralelní, můžeme psát
kde je nějaká skalární funkce. Jedním bezprostředním důsledkem toku Beltrami je to, že to nikdy nemůže být rovinný nebo osově souměrný tok, protože v těchto tokech je vířivost vždy kolmá na rychlostní pole. Další důležitý důsledek bude realizován pohledem na nestlačitelné rovnice vířivosti
kde je síla vnějšího těla, jako je gravitační pole, elektrické pole atd., a je kinematická viskozita. Od té doby a jsou paralelní, nelineární členy ve výše uvedené rovnici jsou identicky nulové . Toky Beltrami tedy splňují lineární rovnici
Když , komponenty vorticity splňují jednoduché rovnice tepla.
Trkalianský tok
Viktor Trkal považován za Beltrami toky bez vnějších sil v roce 1919[3] pro skalární funkci , tj.,
Představte následující oddělení proměnných
pak rovnice splněna se stává
Berkerovo řešení
Ratip Berker získal řešení v kartézských souřadnicích pro v roce 1963,[4]
Zobecněný tok Beltrami
Zobecněný tok Beltrami podmínku splňuje[5]
což je méně omezující než podmínka Beltrami . Na rozdíl od běžných toků Beltrami lze zobecněný tok Beltrami studovat pro rovinné a osově symetrické proudění.
Stabilní rovinné toky
Pro stabilní generalizovaný tok Beltrami máme a protože je to také rovinné, máme . Představte funkci streamu
Integrace dává . Takže úplné řešení je možné, pokud splňuje všechny následující tři rovnice
Zvláštní případ se zvažuje, když má pole toku jednotnou vířivost . Wang (1991)[6] dal zobecněné řešení jako
za předpokladu lineární funkce pro . Dosazením do rovnice vířivosti a zavedením oddělení proměnných s dělicí konstantou výsledky v
Řešení získané pro různé možnosti lze interpretovat odlišně, například představuje tok za jednotnou sítí, představuje tok vytvořený napínací deskou, představuje tok do rohu, představuje Asymptotický sací profil atd.
Nestabilní rovinné toky
Tady,
- .
Taylorovy rozpadající se víry
G. I. Taylor dal řešení pro zvláštní případ, kdy , kde je konstanta v roce 1923.[7] Ukázal, že odloučení splňuje rovnici a také
Taylor také zvažoval příklad, rozpadající se systém vírů rotujících alternativně v opačných směrech a uspořádaných do obdélníkového pole
který splňuje výše uvedenou rovnici s , kde je délka čtverce tvořeného vírem. Proto se tento systém vírů rozpadá jako
Stabilní osově symetrické toky
Tady máme . Integrace dává a tři rovnice jsou
První rovnice je Hicksova rovnice. Marris a Aswani (1977)[8] ukázal, že jediným možným řešením je a zbývající rovnice se sníží na
Jednoduchá sada řešení výše uvedené rovnice je
představuje tok způsobený dvěma protilehlými rotačními proudy na parabolickém povrchu, představuje rotační tok na rovinné stěně, představuje tokový elipsoidní vír (speciální případ - Hillův sférický vír), představuje typ toroidního víru atd.
Homogenní řešení pro jak ukazuje Berker[9]
kde jsou Besselova funkce prvního druhu a Besselova funkce druhého druhu resp. Zvláštní případ výše uvedeného řešení je Tok Poiseuille pro válcovou geometrii s transpiračními rychlostmi na stěnách. Chia-Shun Yih našel řešení v roce 1958 pro Tok Poiseuille do umyvadla, když .[10]
Viz také
Reference
- ^ Gromeka, I. "Některé případy nestlačitelného pohybu tekutin." Vědecké poznámky Kazanské univerzity (1881): 76–148.
- ^ Truesdell, Clifford. Kinematika vířivosti. Sv. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.
- ^ Trkal, V. "Poznámka k hydrodynamice viskózních tekutin." Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302–311.
- ^ Berker, R. "Integration des equations du movement d'un fluide visqueux nestlačitelný. Handbuch der Physik." (1963). Toto řešení je nesprávné /
- ^ Drazin, Philip G., a Norman Riley. Navier-Stokesovy rovnice: klasifikace toků a přesná řešení. Č. 334. Cambridge University Press, 2006.
- ^ Wang, C. Y. 1991 Přesné řešení Navier-Stokesových rovnic v ustáleném stavu, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
- ^ Taylor, G. I. „LXXV. O rozpadu vírů ve viskózní tekutině.“ The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 46.274 (1923): 671–674.
- ^ Marris, A. W. a M. G. Aswani. „O obecné nemožnosti ovladatelných axi-symetrických pohybů Navier-Stokes.“ Archiv pro Rational Mechanics and Analysis 63.2 (1977): 107–153.
- ^ Berker, R. "Integration des equations du movement d'un fluide visqueux nestlačitelný. Handbuch der Physik." (1963).
- ^ Yih, C. S. (1959). Dvě řešení pro neviditelný rotační tok s rohovými víry. Journal of Fluid Mechanics, 5 (1), 36-40.