Cauchy-Eulerova rovnice - Cauchy–Euler equation

v matematika, an Euler-Cauchyova rovnicenebo Cauchy-Eulerova rovnicenebo jednoduše Eulerova rovnice je lineární homogenní obyčejná diferenciální rovnice s variabilní koeficienty. To je někdy označováno jako ekvidimenzionální rovnice. Díky své obzvláště jednoduché ekvidimenzionální struktuře lze diferenciální rovnici vyřešit explicitně.

Rovnice

Nechat y⁽ⁿ⁾(X) být nth derivát neznámé funkcey(X). Pak Cauchy – Eulerova rovnice řádu n má formu

${ displaystyle a_ {n} x ^ {n} y ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + cdots + a_ {0} y (x) = 0.}$

Střídání ${ displaystyle x = e ^ {u}}$ (to znamená, ${ displaystyle u = ln (x)}$; pro ${ displaystyle x <0}$, jeden by mohl nahradit všechny instance ${ displaystyle x}$ podle ${ displaystyle | x |}$, což rozšiřuje doménu řešení na ${ displaystyle R_ {0}}$) lze použít k redukci této rovnice na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Alternativně zkušební řešení ${ displaystyle y = x ^ {m}}$ lze použít k přímému řešení základních řešení.^[1]

Druhý řád - řešení prostřednictvím zkušebního řešení

Typické křivky řešení pro Euler-Cauchyovu rovnici druhého řádu pro případ dvou reálných kořenů

Typické křivky řešení pro Euler-Cauchyovu rovnici druhého řádu pro případ dvojitého kořene

Typické křivky řešení pro Euler-Cauchyovu rovnici druhého řádu pro případ komplexních kořenů

Nejběžnější Cauchy-Eulerova rovnice je rovnice druhého řádu, která se objevuje v řadě fyzikálních a technických aplikací, například při řešení Laplaceova rovnice v polárních souřadnicích. Cauchyho-Eulerova rovnice druhého řádu je^[1]

${ displaystyle x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + sekera { frac {dy} {dx}} + o = 0. ,}$

Předpokládáme zkušební řešení^[1]

${ displaystyle y = x ^ {m}. ,}$

Diferenciace dává

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = mx ^ {m-1} ,}$

a

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = m (m-1) x ^ {m-2}. ,}$

Nahrazení do původní rovnice vede k požadavku

${ displaystyle x ^ {2} (m (m-1) x ^ {m-2}) + sekera (mx ^ {m-1}) + b (x ^ {m}) = 0 ,}$

Přeskupení a factoring dává indiciální rovnici

${ displaystyle m ^ {2} + (a-1) m + b = 0. ,}$

Poté vyřešíme pro m. Existují tři konkrétní případy zájmu:

• Případ č. 1 dvou odlišných kořenů, m₁ a m₂;
• Případ č. 2 jednoho skutečného opakovaného kořene, m;
• Případ č. 3 komplexních kořenů, α ± βi.

V případě č. 1 je řešením

${ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m_ {1}} + c_ {2} x ^ {m_ {2}} ,}$

V případě č. 2 je řešením

${ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m} ln (x) + c_ {2} x ^ {m} ,}$

K tomuto řešení se dostaneme metodou snížení objednávky musí být aplikováno po nalezení jednoho řešení y = X^m.

V případě č. 3 je řešením

${ displaystyle y = c_ {1} x ^ { alpha} cos ( beta ln (x)) + c_ {2} x ^ { alpha} sin ( beta ln (x)) , }$

${ displaystyle alpha = mathop { rm {Re}} (m) ,}$

${ displaystyle beta = mathop { rm {Im}} (m) ,}$

Pro ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ ∈ ℝ.

Tato forma řešení je odvozena nastavením X = E^t a pomocí Eulerův vzorec

Druhý řád - řešení změnou proměnných

${ displaystyle x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + sekera { frac {dy} {dx}} + o = 0 ,}$

Provozujeme proměnnou substituci definovanou

${ displaystyle t = ln (x). ,}$

${ displaystyle y (x) = varphi ( ln (x)) = varphi (t). ,}$

Diferenciace dává

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {1} {x}} { frac {d varphi} {dt}}}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = { frac {1} {x ^ {2}}} { bigg (} { frac {d ^ {2 } varphi} {dt ^ {2}}} - { frac {d varphi} {dt}} { bigg)}.}$

Střídání ${ displaystyle varphi (t)}$ diferenciální rovnice se stává

${ displaystyle { frac {d ^ {2} varphi} {dt ^ {2}}} + (a-1) { frac {d varphi} {dt}} + b varphi = 0. , }$

Tato rovnice v ${ displaystyle varphi (t)}$ je řešen pomocí jeho charakteristického polynomu

${ displaystyle lambda ^ {2} + (a-1) lambda + b = 0.}$

Teď nech ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}}$ označit dva kořeny tohoto polynomu. Analyzujeme dva hlavní případy: odlišné kořeny a dvojité kořeny:

Pokud jsou kořeny odlišné, obecné řešení je

${ displaystyle varphi (t) = c_ {1} e ^ { lambda _ {1} t} + c_ {2} e ^ { lambda _ {2} t}}$, kde exponenciály mohou být složité.

Pokud jsou kořeny stejné, obecné řešení je

${ displaystyle varphi (t) = c_ {1} e ^ { lambda _ {1} t} + c_ {2} te ^ { lambda _ {1} t}.}$

V obou případech řešení ${ displaystyle y (x)}$ lze najít nastavením ${ displaystyle t = ln (x)}$.

V prvním případě tedy

${ displaystyle y (x) = c_ {1} x ^ { lambda _ {1}} + c_ {2} x ^ { lambda _ {2}}}$,

a ve druhém případě

${ displaystyle y (x) = c_ {1} x ^ { lambda _ {1}} + c_ {2} ln (x) x ^ { lambda _ {1}}.}$

Příklad

Dáno

${ displaystyle x ^ {2} u '' - 3xu '+ 3u = 0 ,,}$

dosadíme jednoduché řešení X^m:

${ displaystyle x ^ {2} (m (m-1) x ^ {m-2}) - 3x (mx ^ {m-1}) + 3x ^ {m} = m (m-1) x ^ { m} -3mx ^ {m} + 3x ^ {m} = (m ^ {2} -4m + 3) x ^ {m} = 0 ,.}$

Pro X^m být řešením X = 0, což dává triviální řešení nebo koeficient X^m je nula. Vyřešením kvadratické rovnice dostanemem = 1, 3. Obecné řešení tedy je

${ displaystyle u = c_ {1} x + c_ {2} x ^ {3} ,.}$

Rozdíl analogové rovnice

Tady je rozdílová rovnice analogický k Cauchy-Eulerově rovnici. Pro pevné m > 0, definujte sekvenci ƒ_m(n) tak jako

${ displaystyle f_ {m} (n): = n (n + 1) cdots (n + m-1).}$

Aplikování operátoru rozdílu na ${ displaystyle f_ {m}}$, zjistíme, že

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Df_ {m} (n) & = f_ {m} (n + 1) -f_ {m} (n) & = m (n + 1) (n + 2) cdots (n + m-1) = { frac {m} {n}} f_ {m} (n). end {zarovnáno}}}$

Pokud to uděláme k občas to zjistíme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f_ {m} ^ {(k)} (n) & = { frac {m (m-1) cdots (m-k + 1)} {n (n + 1 ) cdots (n + k-1)}} f_ {m} (n) & = m (m-1) cdots (m-k + 1) { frac {f_ {m} (n)} {f_ {k} (n)}}, end {zarovnáno}}}$

kde horní index ^(k) označuje použití operátoru rozdílu k krát. Srovnáváme to se skutečností, že k-tý derivát X^m rovná se

${ displaystyle m (m-1) cdots (m-k + 1) { frac {x ^ {m}} {x ^ {k}}}}$

navrhuje, abychom mohli vyřešit N-diferenční rovnice řádu

${ displaystyle f_ {N} (n) y ^ {(N)} (n) + a_ {N-1} f_ {N-1} (n) y ^ {(N-1)} (n) + cdots + a_ {0} y (n) = 0,}$

podobným způsobem jako případ diferenciální rovnice. Opravdu, nahrazení zkušebního řešení

${ displaystyle y (n) = f_ {m} (n) ,}$

přivádí nás do stejné situace jako případ diferenciální rovnice,

${ Displaystyle m (m-1) cdots (m-N + 1) + a_ {N-1} m (m-1) cdots (m-N + 2) + cdots + a_ {1} m + a_ {0} = 0.}$

Nyní lze postupovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení N-lineární rovnice diferenciálního řádu je také lineární kombinací N lineárně nezávislá řešení. Uplatnění redukce objednávky v případě více kořenů m₁ přinese výrazy zahrnující diskrétní verzi ln,

${ displaystyle varphi (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k-m_ {1}}}.}$

(Srovnat s: ${ displaystyle ln (x-m_ {1}) = int _ {1 + m_ {1}} ^ {x} { frac {1} {t-m_ {1}}} , dt.}$)

V případech, kdy jsou zapojeny zlomky, lze použít

${ displaystyle f_ {m} (n): = { frac { Gamma (n + m)} { Gamma (n)}}}$

místo toho (nebo jej jednoduše použijte ve všech případech), který se shoduje s definicí dříve pro celé číslom.

Viz také

• Hypergeometrická diferenciální rovnice
• Cauchy – Eulerův operátor

Reference

Bibliografie

• Weisstein, Eric W. "Cauchy-Eulerova rovnice". MathWorld.