Carathéodory metrika - Carathéodory metric
v matematika, Carathéodory metrika je metrický definované na otevřeno jednotková koule a komplex Banachův prostor který má mnoho podobných vlastností jako Poincarého metrika z hyperbolická geometrie. Je pojmenován po řecký matematik Constantin Carathéodory.
Definice
Nechť (X, || ||) být komplexním Banachovým prostorem a nechat B být otevřenou jednotkovou koulí X. Nechť Δ označuje otevřený disk jednotky v složité letadlo C, myšlenka jako Model disku Poincaré pro 2-dimenzionální skutečnou / 1-dimenzionální komplexní hyperbolickou geometrii. Nechť je Poincaréova metrika ρ na Δ bude dáno
(tedy oprava zakřivení být −4). Pak Carathéodory metrika d na B je definováno
Co to znamená, aby funkce na Banachově prostoru byla holomorfní, je definována v článku Nekonečná dimenzionální holomorphy.
Vlastnosti
- Pro jakýkoli bod X v B,
- d může být také dán následujícím vzorcem, který Carathéodory přisuzoval Erhard Schmidt:
- Pro všechny A a b v B,
- s rovností kdyby a jen kdyby buď A = b nebo existuje a ohraničené lineární funkční ℓ ∈X∗ takové, že || ℓ || = 1, ℓ (A + b) = 0 a
- Kromě toho jakékoli ℓ splňující tyto tři podmínky má | ℓ (A − b)| = ||A − b||.
- Rovnost je v (1), pokud ||A|| = ||b|| a ||A − b|| = ||A|| + ||b||. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je přijmout b = −A.
- Pokud existuje jednotkový vektor u v X to není extrémní bod uzavřené jednotkové koule dovnitř X, pak existují body A a b v B takové, že v (1) je rovnost, ale b ≠ ±A.
Carathéodoryova délka tečného vektoru
Existuje související pojem délky Carathéodory pro tečné vektory na ples B. Nechat X být bodem B a nechte proti být tečným vektorem B na X; od té doby B je otevřená jednotková koule ve vektorovém prostoru X, tečný prostor TXB lze identifikovat pomocí X přirozeným způsobem a proti lze považovat za prvek X. Pak Carathéodory délka z proti na X, označeno α(X, proti), je definován
Jeden to může ukázat α(X, proti) ≥ ||proti||, s rovností, když X = 0.
Viz také
Reference
- Earle, Clifford J. a Harris, Lawrence A. a Hubbard, John H. a Mitra, Sudeb (2003). „Schwarzovo lemma a Kobayashiho a Carathéodoryho pseudometrie na složitých Banachových varietách“. In Komori, Y .; Markovic, V .; Series, C. (eds.). Kleinianovy skupiny a hyperbolické 3-variety (Warwick, 2001). London Math. Soc. Přednáška Ser. 299. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str.363 –384.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)