Věta o britské vlajce - British flag theorem

Podle věty o britské vlajce mají červené čtverce stejnou celkovou plochu jako modré čtverce

Věta o britské vlajce ve vesmíru, červené čtverce mají stejnou celkovou plochu jako modré čtverce

v Euklidovská geometrie, Věta o britské vlajce říká, že pokud bod P je vybrán uvnitř obdélník abeceda pak součet čtverců Euklidovské vzdálenosti z P do dvou protilehlých rohů obdélníku se rovná součtu s dalšími dvěma protilehlými rohy.^[1]^[2]^[3]Jako rovnice:

{displaystyle AP ^ {2} + CP ^ {2} = BP ^ {2} + DP ^ {2}.,}

Věta platí také pro body mimo obdélník a obecněji pro vzdálenosti od bodu v Euklidovský prostor do rohů obdélníku vloženého do prostoru.^[4] Ještě obecněji, pokud jsou součty čtverců vzdáleností od bodu P na dva páry protilehlých rohů a rovnoběžník jsou porovnány, tyto dva součty nebudou obecně stejné, ale rozdíl těchto dvou součtů bude záviset pouze na tvaru rovnoběžníku a ne na volbě P.^[5]

Vetu lze také považovat za zobecnění Pythagorovy věty. Umístění bodu P na kterémkoli ze čtyř vrcholů obdélníku získá čtverec úhlopříčky obdélníku, který se rovná součtu čtverců šířky a délky obdélníku, což je Pythagorova věta.

Důkaz

Ilustrace pro důkaz

Pokles kolmé čáry od bodu P na strany obdélníku, strany setkání AB, před naším letopočtem, CD, a INZERÁT v bodech Ž, X, Y a Z respektive, jak je znázorněno na obrázku; tyto čtyři body WXYZ tvoří vrcholy ortodiagonální čtyřúhelník.Použitím Pythagorova věta do pravoúhlý trojuhelník AWPa to pozorovat WP = AZ, z toho vyplývá, že

${displaystyle AP ^ {2} = AW ^ {2} + WP ^ {2} = AW ^ {2} + AZ ^ {2}}$

a podobným argumentem druhé mocniny délek vzdáleností od P do dalších tří rohů lze vypočítat jako

${displaystyle PC ^ {2} = WB ^ {2} + ZD ^ {2},}$
${displaystyle BP ^ {2} = WB ^ {2} + AZ ^ {2},}$ a
${displaystyle PD ^ {2} = ZD ^ {2} + AW ^ {2}.}$

Proto:

{displaystyle {egin {aligned} AP ^ {2} + PC ^ {2} & = left (AW ^ {2} + AZ ^ {2} ight) + left (WB ^ {2} + ZD ^ {2} ight ) [4pt] & = vlevo (WB ^ {2} + AZ ^ {2} ight) + vlevo (ZD ^ {2} + AW ^ {2} ight) [4pt] & = BP ^ {2} + PD ^ {2} konec {zarovnáno}}}

Pojmenování

Vlajka Spojené království.

Tato věta odvozuje svůj název od skutečnosti, že když úsečky z P do rohů obdélníku jsou nakresleny, spolu s kolmými čarami použitými v důkazu, vyplněný obrázek poněkud připomíná Vlajka Unie.

Reference

^ Lardner, Dionysius (1848), Prvních šest knih o prvcích Euklida, H. G. Bohn, s. 87. Lardner zahrnuje tuto větu v tom, co nazývá „nejužitečnějšími a nejpozoruhodnějšími větami, které lze odvodit“ z výsledků v knize II z Euklidovy prvky.
^ Mladý, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementární matematická analýza „Společnost Macmillan, s. 304.
^ Bože, Maxime (1915), Rovinová analytická geometrie: s úvodními kapitolami o diferenciálním počtu, H. Holt and Company, s. 17.
^ Harvard-MIT Mathematics Tournament řešení, Úloha 28.
^ Hadamard, Jacques (2008), Lekce v geometrii: Rovinná geometrie, American Mathematical Society, str. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.

Další čtení

Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: Zajímavá aplikace věty o britské vlajce. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Volume 4 (2015), issue 1, pp. 31 鈥
Martin Gardner, Dana Richards (ed.): Kolosální kniha krátkých hádanek a problémů. W. W. Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7, str. 147, 159 (problém 6.16)

externí odkazy

Věta o britské vlajce na artofproblemsolving.com
Můžete vyřešit otázku rozhovoru společnosti Microsoft s obdélníkovými rohy? (video, 5:41 minut)

[1] Lardner, Dionysius (1848), Prvních šest knih o prvcích Euklida, H. G. Bohn, s. 87. Lardner zahrnuje tuto větu v tom, co nazývá „nejužitečnějšími a nejpozoruhodnějšími větami, které lze odvodit“ z výsledků v knize II z Euklidovy prvky.

[2] Mladý, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementární matematická analýza „Společnost Macmillan, s. 304.

[3] Bože, Maxime (1915), Rovinová analytická geometrie: s úvodními kapitolami o diferenciálním počtu, H. Holt and Company, s. 17.

[4] Harvard-MIT Mathematics Tournament řešení, Úloha 28.

[5] Hadamard, Jacques (2008), Lekce v geometrii: Rovinná geometrie, American Mathematical Society, str. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]