Bramble – Hilbertovo lemma - Bramble–Hilbert lemma - Wikipedia

v matematika, zejména numerická analýza, Bramble – Hilbert lemma, pojmenoval podle James H. Bramble a Stephen Hilbert, omezuje chyba z přiblížení a funkce ${ displaystyle textstyle u}$ podle a polynomiální maximálně objednávky ${ displaystyle textstyle m-1}$ ve smyslu deriváty z ${ displaystyle textstyle u}$ řádu ${ displaystyle textstyle m}$. Chyba aproximace i derivace ${ displaystyle textstyle u}$ jsou měřeny pomocí ${ displaystyle textstyle L ^ {p}}$ normy na ohraničený doména v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$. Je to podobné jako u klasické numerické analýzy, kde je například chyba lineární interpolace ${ displaystyle textstyle u}$ lze omezit pomocí druhé derivace ${ displaystyle textstyle u}$. Lemma Bramble – Hilbert však platí v jakémkoli počtu dimenzí, nejen v jedné dimenzi, aproximační chybě a derivacích ${ displaystyle textstyle u}$ jsou měřeny obecnějšími normami zahrnujícími průměry, nejen maximální norma.

K udržení lemmatu Bramble – Hilbert jsou zapotřebí další předpoklady o doméně. V zásadě hranice domény musí být „přiměřené“. Například domény, které mají hrot nebo štěrbinu s nulovým úhlem na špičce, jsou vyloučeny. Lipschitzovy domény jsou dostatečně rozumné, což zahrnuje konvexní domény a domény s průběžně diferencovatelné hranice.

Hlavní použití lemmatu Bramble – Hilbert je prokázat hranice chyby interpolace funkce ${ displaystyle textstyle u}$ operátor, který zachovává polynomy řádu až ${ displaystyle textstyle m-1}$, pokud jde o deriváty ${ displaystyle textstyle u}$ řádu ${ displaystyle textstyle m}$. Toto je zásadní krok v odhadech chyb pro Metoda konečných prvků. Lemma Bramble – Hilbert je zde aplikováno na doménu skládající se z jednoho prvku (nebo v některých) superkonvergence výsledky, malý počet prvků).

Jednorozměrný případ

Před úplným uvedením lemmatu je užitečné se podívat na několik jednoduchých zvláštních případů. V jedné dimenzi a pro funkci ${ displaystyle textstyle u}$ to má ${ displaystyle textstyle m}$ deriváty na intervalu ${ displaystyle textstyle left (a, b right)}$, lemma se redukuje na

${ displaystyle inf _ {v v P_ {m-1}} { bigl Vert} u ^ { left (k right)} - ​​v ^ { left (k right)} { bigr Vert} _ {L ^ {p} left (a, b right)} leq C left (m right) left (ba right) ^ {mk} { bigl Vert} u ^ { left (m right)} { bigr Vert} _ {L ^ {p} left (a, b right)},}$

kde ${ displaystyle textstyle P_ {m-1}}$ je prostor všech polynomů řádu nejvýše ${ displaystyle textstyle m-1}$.

V případě, kdy ${ displaystyle textstyle p = infty}$, ${ displaystyle textstyle m = 2}$, ${ displaystyle textstyle k = 0}$, a ${ displaystyle textstyle u}$ je dvakrát diferencovatelný, to znamená, že existuje polynom ${ displaystyle textstyle v}$ prvního stupně takové, že pro všechny ${ displaystyle textstyle x in left (a, b right)}$,

${ Displaystyle left vert u left (x right) -v left (x right) right vert leq C left (ba right) ^ {2} sup _ { left (a , b right)} left vert u ^ { prime prime} right vert.}$

Tato nerovnost také vyplývá ze známého odhadu chyby pro lineární interpolaci výběrem ${ displaystyle textstyle v}$ jako lineární interpolant z ${ displaystyle textstyle u}$.

Prohlášení o lemmatu

^{[pochybný – diskutovat]}

Předpokládat ${ displaystyle textstyle Omega}$ je ohraničená doména v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$, ${ displaystyle textstyle n geq 1}$, s hranicí ${ displaystyle textstyle částečné Omega}$ a průměr ${ displaystyle textstyle d}$. ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {k} ( Omega)}$ je Sobolevův prostor všech funkcí ${ displaystyle textstyle u}$ na ${ displaystyle textstyle Omega}$ s slabé deriváty ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha} u}$ řádu ${ displaystyle textový styl levý vert alfa pravý vert}$ až do ${ displaystyle textstyle k}$ v ${ displaystyle textstyle L ^ {p} ( Omega)}$. Tady, ${ displaystyle textstyle alpha = left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {n} right)}$ je multiindex, ${ Displaystyle Textstyle Left Vert Alpha Right Vert =}$ ${ displaystyle textstyle alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}}$ a ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha}}$ označuje derivát ${ displaystyle textstyle alpha _ {1}}$ krát s ohledem na ${ displaystyle textstyle x_ {1}}$, ${ displaystyle textstyle alpha _ {2}}$ krát s ohledem na ${ displaystyle textstyle x_ {2}}$, a tak dále. Sobolevův seminář o ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ se skládá z ${ displaystyle textstyle L ^ {p}}$ normy derivátů nejvyššího řádu,

${ displaystyle left vert u right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)} = left ( sum _ { left vert alpha right vert = m} left Vert D ^ { alpha} u right Vert _ {L ^ {p} ( Omega)} ^ {p} right) ^ {1 / p} { text {if}} 1 leq p < infty}$

a

${ displaystyle left vert u right vert _ {W _ { infty} ^ {m} ( Omega)} = max _ { left vert alpha right vert = m} left Vert D ^ { alpha} u right Vert _ {L ^ { infty} ( Omega)}}$

${ displaystyle textový styl P_ {k}}$ je prostor všech polynomů řádu až ${ displaystyle textstyle k}$ na ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$. Všimněte si, že ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha} v = 0}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle v v P_ {m-1}}$ a ${ displaystyle textstyle levý vert alfa pravý vert = m}$, tak ${ displaystyle textstyle left vert u + v right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)}}$ má pro všechny stejnou hodnotu ${ displaystyle textstyle v v P_ {m-1}}$.

Lemma (Bramble a Hilbert) Podle dalších předpokladů o doméně ${ displaystyle textstyle Omega}$níže, existuje konstanta ${ displaystyle textstyle C = C vlevo (m, Omega vpravo)}$ nezávislý na ${ displaystyle textstyle p}$ a ${ displaystyle textstyle u}$ takový, že pro každého ${ displaystyle textstyle u in W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ existuje polynom ${ displaystyle textstyle v v P_ {m-1}}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle textstyle k = 0, ldots, m,}$

${ displaystyle left vert uv right vert _ {W_ {p} ^ {k} ( Omega)} leq Cd ^ {mk} left vert u right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)}.}$

Původní výsledek

Lemma prokázali Bramble a Hilbert ^[1] za předpokladu, že ${ displaystyle textstyle Omega}$ uspokojuje silná vlastnost kužele; to znamená, že existuje konečná otevřená krytina ${ displaystyle textstyle vlevo {O_ {i} vpravo }}$ z ${ displaystyle textstyle částečné Omega}$ a odpovídající kužely ${ displaystyle textstyle {C_ {i} }}$ s vrcholy v počátcích takové, že ${ displaystyle textstyle x + C_ {i}}$ je obsažen v ${ displaystyle textstyle Omega}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle x}$ ${ displaystyle textstyle in Omega cap O_ {i}}$.

Tvrzení lemmatu je zde jednoduché přepsání pravostranné nerovnosti uvedené v teorémě 1 v.^[1] Skutečné prohlášení v ^[1] je to norma faktorového prostoru ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega) / P_ {m-1}}$ je ekvivalentní s ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ seminář. The ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ Norma není obvyklá, ale pojmy jsou škálovány ${ displaystyle textstyle d}$ takže pravá nerovnost v rovnocennosti seminářů vyjde přesně tak, jak je to uvedeno v tomto prohlášení.

V původním výsledku není zadán výběr polynomu a hodnota konstanty a její závislost na doméně ${ displaystyle textstyle Omega}$ nelze z důkazu určit.

Konstruktivní forma

Alternativní výsledek poskytli Dupont a Scott ^[2] za předpokladu, že doména ${ displaystyle textstyle Omega}$ je ve tvaru hvězdy; to znamená, že existuje koule ${ displaystyle textový styl B}$ takový, že pro každého ${ displaystyle textstyle x v Omega}$, uzavřený konvexní obal z ${ Displaystyle Textstyle Left {X Right } Cup B}$ je podmnožinou ${ displaystyle textstyle Omega}$. Předpokládejme to ${ displaystyle textstyle rho _ { max}}$ je supremum průměrů těchto koulí. Poměr ${ displaystyle textstyle gamma = d / rho _ { max}}$ se nazývá chunkiness ${ displaystyle textstyle Omega}$.

Potom lema drží s konstantou ${ displaystyle textstyle C = C vlevo (m, n, gama doprava)}$, to znamená, že konstanta závisí na doméně ${ displaystyle textstyle Omega}$ jen díky jeho chunkiness ${ displaystyle textstyle gamma}$ a rozměr prostoru ${ displaystyle textstyle n}$. Navíc, ${ displaystyle v}$ lze zvolit jako ${ displaystyle v = Q ^ {m} u}$, kde ${ displaystyle textstyle Q ^ {m} u}$ je zprůměrováno Taylorův polynom, definováno jako

${ displaystyle Q ^ {m} u = int _ {B} T_ {y} ^ {m} u left (x right) psi left (y right) , dx,}$

kde

${ displaystyle T_ {y} ^ {m} u left (x right) = sum limity _ {k = 0} ^ {m-1} sum limity _ { left vert alpha right vert = k} { frac {1} { alpha!}} D ^ { alpha} u left (y right) left (xy right) ^ { alpha}}$

je Taylorův polynom stupně ${ displaystyle textstyle m-1}$ z ${ displaystyle textstyle u}$ se středem na ${ displaystyle textstyle y}$ hodnoceno na ${ displaystyle textstyle x}$, a ${ displaystyle textstyle psi geq 0}$ je funkce, která má deriváty všech řádů, mimo ni se rovná nule ${ displaystyle textový styl B}$a tak dále

${ displaystyle int _ {B} psi , dx = 1.}$

Taková funkce ${ displaystyle textstyle psi}$ vždy existuje.

Další podrobnosti a výukový program najdete v monografii od Brenner a Scott.^[3] Výsledek lze rozšířit na případ, kdy je doména ${ displaystyle textstyle Omega}$ je spojení konečného počtu domén ve tvaru hvězdy, které je o něco obecnější než vlastnost silného kužele, a dalších polynomiálních prostorů než prostor všech polynomů do daného stupně.^[2]

Vázáno na lineární funkcionály

Tento výsledek bezprostředně vyplývá z výše uvedeného lemmatu a někdy se také nazývá Bramble – Hilbertovo lemma, například Ciarlet.^[4] Je to v podstatě věta 2 z.^[1]

Lemma Předpokládejme to ${ displaystyle textstyle ell}$ je spojité lineární funkční na ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ a ${ displaystyle textstyle left Vert ell right Vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega) ^ {^ { prime}}}}$ své duální norma. Předpokládejme to ${ displaystyle textstyle ell left (v right) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle v v P_ {m-1}}$. Pak existuje konstanta ${ displaystyle textstyle C = C left ( Omega right)}$ takhle

${ Displaystyle left vert ell left (u right) right vert leq C left Vert ell right Vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega) ^ {^ { prime}}} left vert u right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)}.}$

Reference

externí odkazy

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994], „Bramble – Hilbertovo lemma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 - Jan Mandel: The Bramble – Hilbert Lemma