Bony – Brezisova věta - Bony–Brezis theorem - Wikipedia

v matematika, Bony – Brezisova věta, kvůli francouzským matematikům Jean-Michel Bony a Haïm Brezis, dává nezbytné a dostatečné podmínky pro uzavřenou podmnožinu a potrubí být neměnný pod tok definováno a vektorové pole, jmenovitě v každém bodě uzavřené množiny musí mít vektorové pole kladný vnitřní součin s libovolným vnější normální vektor do sady. Vektor je vnější normální v bodě uzavřené množiny, pokud existuje reálná hodnotná spojitě diferencovatelná funkce maximalizovaná lokálně v bodě s tímto vektorem jako jeho derivací v bodě. Pokud je uzavřenou podmnožinou hladký podmnožina s hranicí, podmínka uvádí, že vektorové pole by nemělo směřovat mimo podmnožinu v hraničních bodech. Zobecnění na nevyhlazené podmnožiny je důležité v teorii parciální diferenciální rovnice.

Věta byla ve skutečnosti již dříve objevena Mitio Nagumo v roce 1942 a je také známý jako Nagumova věta.^[1]

Prohlášení

Nechat F být uzavřená podmnožina C.² potrubí M a nechte X být vektorové pole na M který je Lipschitz kontinuální. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

• Žádný integrální křivka z X začínající v F zůstává v F.
• (X(m),proti) ≤ 0 pro jakýkoli vnější normální vektor proti v určitém okamžiku m v F.

Důkaz

Následující Hörmander (1983), dokázat, že první podmínka implikuje druhou, nechť C(t) být integrální křivkou sC(0) = X v F a dc / dt= X(C). Nechat G mít místní maximum na F na X. Pak G(C(t)) ≤ G (C(0)) pro t malé a pozitivní. Rozlišování to znamená G '(X)⋅X(X) ≤ 0.

K prokázání zpětné implikace, protože výsledek je místní, stačí ji zkontrolovat Rⁿ. V tom případě X místně splňuje podmínku Lipschitz

${ displaystyle displaystyle {| X (a) -X (b) | leq C | a-b |.}}$

Li F je zavřená, funkce vzdálenosti D(X) = d(X,F)² má následující vlastnost rozlišitelnosti:

${ displaystyle displaystyle {D (x + h) = D (x) + min _ {z} 2h cdot (x-z) + o (| h |),}}$

kde minimum je převzato z nejbližších bodů z na X v F.

Chcete-li to zkontrolovat, nechte

${ displaystyle displaystyle {f _ { varepsilon} (h) = min _ {z} 2 h cdot (x-z),}}$

kde je převzato minimum z v F takhle d(X,z) ≤ d(X,F) + ε.

Od té doby F_ε je homogenní v h a zvyšuje se rovnoměrně na F₀ v jakékoli sféře,

${ displaystyle displaystyle {f_ {0} (h) geq f _ { varepsilon} (h) geq f_ {0} (h) -C ( varepsilon) | h |,}}$

s konstantou C(ε) má sklon k 0, protože ε má sklon k 0.

Z toho vyplývá tato vlastnost rozlišitelnosti, protože

${ displaystyle displaystyle {D (x + h) leq | x + hz | ^ {2} leq | zx | ^ {2} + 2h cdot (xz) + | h | ^ {2} = D ( x) + f_ {0} (h) + | h | ^ {2}}}$

a podobně pokud |h| ≤ ε

${ displaystyle displaystyle {D (x + h) geq D (x) + f _ { varepsilon} (h) + | h | ^ {2}.}}$

Vlastnost rozlišitelnosti to naznačuje

${ displaystyle displaystyle { lim { delta downarrow 0} {D (c (t + delta)) - D (c (t)) nad delta} = 2 min _ {z} X (c ( t)) cdot (c (t) -z),}}$

minimalizováno přes nejbližší body z na C(t). U každého takového z

${ displaystyle displaystyle {2X (c (t)) cdot (c (t) -z) = 2X (z) cdot (c (t) -z) -2 (X (z) -X (c ( t))) cdot (c (t) -z).}}$

Od - |y − C(t)|² má místní maximum zapnuto F na y = z, C(t) − z je vnější normální vektor v z. První člen na pravé straně je tedy nezáporný. Lipschitzova podmínka pro X znamená, že druhý člen je ohraničen výše 2C⋅D(C(t)). Tak derivace zprava z

${ displaystyle displaystyle {e ^ {- 2Ct} D (c (t))}}$

není pozitivní, takže se nejedná o zvyšující se funkci t. Tedy pokud C(0) leží v F, D(C(0)) = 0 a tedy D(C(t)) = 0 pro t > 0, tj. C(t) leží v F pro t > 0.

Reference

Literatura

• Nagumo, Mitio (1942), „Über die lage der integralkurven gewöhnlicher diferencialgleichungen“, Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 3 Ki, 24: 551–559 (v němčině)
• Yorke, James A. (1967), „Invariance pro obyčejné diferenciální rovnice“, Teorie výpočtu, 1 (4): 353–372, doi:10.1007 / BF01695169
• Bony, Jean-Michel (1969), „Principe du Maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénerés“ (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 19: 277–304, doi:10,5802 / aif.319 (francouzsky)
• Brezis, Haim (1970), „O charakterizaci množin invariantních množin“, Comm. Pure Appl. Matematika., 223 (2): 261–263, doi:10.1002 / cpa.3160230211
• Redheffer, R. M. (1972), „Theorems of Bony and Brezis on Flow-Invariant Sets“, Americký matematický měsíčník, 79 (7): 740–747, doi:10.2307/2316263, JSTOR  2316263
• Crandall, Michael G. (1972), „Zobecnění Peanovy věty o existenci a invariance toku“, Proceedings of the American Mathematical Society, 36 (1): 151–155, doi:10.1090 / S0002-9939-1972-0306586-2
• Volkmann, Peter (1974), „Über die positive Invarianz einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachschen Raumes bezüglich der Differentialgleichung u '= f (t, u)", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1976 (285): 59–65, doi:10,1515 / crll.1976.285,59 (v němčině)
• Hörmander, Larsi (1983), Analýza parciálních diferenciálních operátorů I, Springer-Verlag, str. 300–305, ISBN  3-540-12104-8, Věta 8.5.11
• Blanchini, Franco (1999), „Survey paper: Set invariance in control“, Automatika, 35 (11): 1747–1767, doi:10.1016 / S0005-1098 (99) 00113-2
• Walter, Wolfgang (1998). Obyčejné diferenciální rovnice. Springer. ISBN  978-0387984599.