Blokuje vyšší skupinu Chow - Blochs higher Chow group - Wikipedia

V algebraické geometrii Blochovy vyšší Chow skupiny, zobecnění Chow skupina, je předchůdcem a základním příkladem motivická kohomologie (pro hladké odrůdy). To bylo představeno Spencer Bloch (Bloch 1986 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFBloch1986 (Pomoc) a základní teorie byla vyvinuta Blochem a Marc Levine.

Přesněji řečeno, Voevodského věta^[1] znamená: pro a hladké schéma X přes pole a celá čísla p, q, existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle operatorname {H} ^ {p} (X; mathbb {Z} (q)) simeq operatorname {CH} ^ {q} (X, 2q-p)}$

mezi skupinami motivické kohomologie a vyššími Chowovými skupinami.

Motivace

Jedna z motivací pro vyšší skupiny Chow pochází z teorie homotopy. Zejména pokud ${ displaystyle alpha, beta v Z _ {*} (X)}$ jsou algebraické cykly v ${ displaystyle X}$ které jsou racionálně ekvivalentní prostřednictvím cyklu ${ displaystyle gamma v Z _ {*} (X krát Delta ^ {1})}$, pak ${ displaystyle gamma}$ lze považovat za cestu mezi ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$, a vyšší Chow skupiny jsou určeny ke kódování informací s vyšší homotopickou koherencí. Například,

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, 0)}$

lze považovat za homotopické třídy cyklů while

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, 1)}$

lze považovat za homotopické třídy homotopů cyklů.

Definice

Nechat X být kvazi-projektivní algebraické schéma nad polem („algebraické“ znamená oddělené a konečného typu).

Pro každé celé číslo ${ displaystyle q geq 0}$, definovat

${ displaystyle Delta ^ {q} = operatorname {Spec} ( mathbb {Z} [t_ {0}, dots, t_ {q}] / (t_ {0} + dots + t_ {q} - 1)),}$

což je algebraický analog standardu q-jednodušší. Pro každou sekvenci ${ displaystyle 0 leq i_ {1}$uzavřený podsystém ${ displaystyle t_ {i_ {1}} = t_ {i_ {2}} = cdots = t_ {i_ {r}} = 0}$, který je izomorfní s ${ displaystyle Delta ^ {q-r}}$, se nazývá tvář ${ displaystyle Delta ^ {q}}$.

Pro každého i, tam je vložení

${ displaystyle částečný _ {q, i}: Delta ^ {q-1} { přesahující { sim} { to}} {t_ {i} = 0 } podmnožina Delta ^ {q} .}$

Píšeme ${ displaystyle Z_ {i} (X)}$ pro skupinu algebraický i-cykly na X a ${ displaystyle z_ {r} (X, q) podmnožina Z_ {r + q} (X krát Delta ^ {q})}$ pro podskupinu generovanou uzavřenými podrůdami, které správně protínají s ${ displaystyle X krát F}$ pro každou tvář F z ${ displaystyle Delta ^ {q}}$.

Od té doby ${ displaystyle částečné _ {X, q, i} = operatorname {id} _ {X} krát částečné _ {q, i}: X krát Delta ^ {q-1} hookrightarrow X krát Delta ^ {q}}$ je efektivní dělitel Cartier, existuje Gysin homomorfismus:

${ displaystyle částečné _ {X, q, i} ^ {*}: z_ {r} (X, q) až z_ {r} (X, q-1)}$,

že (podle definice) mapuje podvarietu PROTI do průsečík ${ displaystyle (X times {t_ {i} = 0 }) cap V.}$

Definujte hraniční operátor ${ displaystyle d_ {q} = součet _ {i = 0} ^ {q} (- 1) ^ {i} částečný _ {X, q, i} ^ {*}}$ což vede k řetězovému komplexu

${ displaystyle cdots to z_ {r} (X, q) { přesahující {d_ {q}} { to}} z_ {r} (X, q-1) { přesahující {d_ {q-1 }} { to}} cdots { overset {d_ {1}} { to}} z_ {r} (X, 0).}$

Nakonec q-tá vyšší Chow skupina X je definován jako q-tá homologie výše uvedeného komplexu:

${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, q): = operatorname {H} _ {q} (z_ {r} (X, cdot)).}$

(Jednodušší od té doby ${ displaystyle z_ {r} (X, cdot)}$ je přirozeně zjednodušená abelianská skupina, s ohledem na Dold – Kan korespondence, vyšší Chow skupiny mohou být také definovány jako homotopy skupiny ${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, q): = pi _ {q} z_ {r} (X, cdot)}$.)

Například pokud ${ displaystyle V podmnožina X krát trojúhelník ^ {1}}$^[2] je uzavřená podrodina taková, že křižovatky ${ displaystyle V (0), V ( infty)}$ s tvářemi ${ displaystyle 0, infty}$ jsou tedy správné${ displaystyle d_ {1} (V) = V (0) -V ( infty)}$ a to znamená podle návrhu 1.6. ve Fultonově teorii průniku, že obraz ${ displaystyle d_ {1}}$ je přesně skupina cyklů racionálně ekvivalentní nule; to je

${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, 0) =}$ the r-th Chow skupina z X.

Vlastnosti

Funkčnost

Správné mapy ${ displaystyle f: X až Y}$ jsou kovariantní mezi vyššími skupinami chow, zatímco ploché mapy jsou kontrariantní. Také kdykoli ${ displaystyle X}$ je hladký, každá mapa z ${ displaystyle X}$ je kovariantní.

Homotopy invariance

Li ${ displaystyle E až X}$ je algebraický vektorový svazek, pak existuje homotopická ekvivalence

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, n) cong { text {CH}} ^ {*} (E, n)}$

Lokalizace

Vzhledem k uzavřenému ekvidimenzionálnímu dílčímu schématu ${ displaystyle Y podmnožina X}$ existuje lokalizace dlouhá přesná sekvence

${ displaystyle { begin {zarovnáno} cdots { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 2) na { text {CH}} ^ {*} (X, 2) do { text {CH}} ^ {*} (U, 2) do & { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 1) do { text {CH}} ^ {*} (X, 1) to { text {CH}} ^ {*} (U, 1) to & { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 0) na { text {CH}} ^ {*} (X, 0) na { text {CH}} ^ {*} (U, 0) na & { text {}} 0 end {zarovnáno} }}$

kde ${ displaystyle U = X-Y}$. Zejména to ukazuje, že vyšší skupiny chow přirozeně rozšiřují přesnou sekvenci chow skupin.

Věta o lokalizaci

(Bloch 1994 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFBloch1994 (Pomoc) ukázal, že vzhledem k otevřené podmnožině ${ displaystyle U podmnožina X}$, pro ${ displaystyle Y = X-U}$,

${ displaystyle z (X, cdot) / z (Y, cdot) až z (U, cdot)}$

je homotopická ekvivalence. Zejména pokud ${ displaystyle Y}$ má čistou codimension, pak poskytuje dlouhou přesnou sekvenci pro vyšší skupiny Chow (nazývané lokalizační sekvence).

Reference

• S. Bloch, “Algebraické cykly a vyšší K-teorie „Adv. Matematika. 61 (1986), 267–304.
• S. Bloch, „Pohyblivé lemma pro vyšší skupiny Chow,“ J. Algebraic Geom. 3, 537–568 (1994)
• Peter Haine, Přehled občanské kohomologie
• Vladmir Voevodsky, „Skupiny motivální kohomologie jsou izomorfní vůči skupinám vyšších Chow v jakékoli charakteristice,“ International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351–355.