Behrendova sekvence - Behrend sequence

v teorie čísel, a Behrendova sekvence je celočíselná sekvence jejichž násobky zahrnují téměř všechny celá čísla. Sekvence jsou pojmenovány po Felix Behrend.

Definice

Li ${ displaystyle A}$ je posloupnost celých čísel větší než jedna, a pokud ${ displaystyle M (A)}$ označuje množinu kladných celočíselných násobků členů ${ displaystyle A}$, pak ${ displaystyle A}$ je Behrendova sekvence, pokud ${ displaystyle M (A)}$ má přirozená hustota jeden. To znamená, že podíl celých čísel od 1 do ${ displaystyle n}$ které patří ${ displaystyle M (A)}$ konverguje v limitu velkých ${ displaystyle n}$, do jednoho.

Příklady

The prvočísla tvoří Behrendovu posloupnost, protože každé celé číslo větší než jedno je násobkem prvočísla. Obecněji subsekvence ${ displaystyle A}$ prvočísel tvoří Behrendovu sekvenci právě tehdy, je-li součet reciproční z ${ displaystyle A}$ rozchází se.^[1]

The semiprimes, produkty dvou prvočísel, také tvoří sekvenci Behrend. Jediná celá čísla, která nejsou násobky semiprime, jsou hlavní síly. Ale protože hlavní síly mají hustotu nula, jejich doplněk, násobky polopremiér, mají hustotu jedna.^[1]

Dějiny

Problém charakterizace těchto sekvencí popsal jako „velmi obtížný“ Paul Erdős v roce 1979.^[2]

Tyto sekvence byly pojmenovány „Behrendovy sekvence“ v roce 1990 Richardem R. Hallem s definicí pomocí logaritmická hustota místo přirozené hustoty.^[3] Hall si vybral jejich jméno na počest Felix Behrend, který to dokázal pro sekvenci Behrend ${ displaystyle A}$, součet reciproční z ${ displaystyle A}$ musí se rozcházet.^[4] Později, Hall a Gérald Tenenbaum použil přirozenou hustotu k definování Behrendových sekvencí namísto logaritmické hustoty.^[5] Tato variace v definicích nezáleží na tom, které sekvence jsou sekvencemi Behrend, protože Davenport – Erdősova věta ukazuje, že pro množiny násobků jsou přirozená hustota jedna a logaritmická hustota jedna ekvivalentní.^[6]

Odvozené sekvence

Když ${ displaystyle A}$ je Behrendova sekvence, lze odvodit další Behrendovu sekvenci vynecháním z ${ displaystyle A}$ libovolný konečný počet prvků.^[5]

Každá sekvence Behrend může být rozložena na disjunktní unie nekonečně mnoha sekvencí Behrend.^[1]

Reference