Davenport – Erdősova věta - Davenport–Erdős theorem

v teorie čísel, Davenport – Erdősova věta uvádí, že pro množiny násobků celých čísel existuje několik různých pojmů hustota jsou ekvivalentní.^[1][2][3]

Nechat ${ displaystyle A = a_ {1}, a_ {2}, dots}$ být posloupností kladných celých čísel. Pak násobky ${ displaystyle A}$ jsou další sada ${ displaystyle M (A)}$ které lze definovat jako množinu ${ displaystyle M (A) = {ka mid k in mathbb {N}, a v A }}$ čísel vytvořených vynásobením členů ${ displaystyle A}$ libovolnými kladnými celými čísly.^[1][2][3]

Podle věty Davenport – Erdős pro množinu ${ displaystyle M (A)}$, následující pojmy hustoty jsou ekvivalentní v tom smyslu, že všechny vytvářejí stejný počet jako každý jiný pro hustotu ${ displaystyle M (A)}$:^[1][2][3]

• Nižší přirozená hustota, dolní mez tak jako ${ displaystyle n}$ jde do nekonečna podílu členů ${ displaystyle M (A)}$ v intervalu ${ displaystyle [1, n]}$.
• The logaritmická hustota nebo multiplikativní hustota, vážený podíl členů ${ displaystyle M (A)}$ v intervalu ${ displaystyle [1, n]}$, opět v limitu, kde je váha prvku ${ displaystyle a}$ je ${ displaystyle 1 / a}$.
• Sekvenční hustota, definovaná jako limit (jako ${ displaystyle i}$ jde do nekonečna) hustot množin ${ displaystyle M ( {a_ {1}, tečky a_ {i} })}$ z násobků prvního ${ displaystyle i}$ prvky ${ displaystyle A}$. Protože tyto sady lze rozložit na konečně mnoho disjunktních aritmetické průběhy, jejich hustoty jsou dobře definované bez použití limitů.

Existují však sekvence ${ displaystyle A}$ a jejich množiny násobků ${ displaystyle M (A)}$ pro které je vyšší přirozená hustota (přijato pomocí vyšší limit místo dolní meze) se liší od nižší hustoty a pro kterou samotná přirozená hustota (hranice stejné posloupnosti hodnot) neexistuje.^[4]

Věta je pojmenována po Harold Davenport a Paul Erdős, který ji publikoval v roce 1936.^[5] Jejich původní důkaz používal Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta; později zveřejnili další základní důkaz.^[6]

Viz také

• Behrendova sekvence posloupnost ${ displaystyle A}$ pro které je hustota ${ displaystyle M (A)}$ popsaný touto větou je jeden

Reference