Bayesova věta - Bayes theorem - Wikipedia

Modrý neonový nápis ukazující jednoduché vyjádření Bayesovy věty

Část série na
Bayesovské statistiky
Teorie
Pravidlo přípustného rozhodnutí Bayesiánská účinnost Bayesova pravděpodobnost Výklady pravděpodobnosti Bayesova věta Bayesův faktor Bayesovský závěr Bayesovská síť Prior Zadní Pravděpodobnost Konjugujte před Zadní prediktivní Hyperparametr Hyperprior Princip lhostejnosti Princip maximální entropie Empirická Bayesova metoda Cromwellova vláda Věta Bernstein – von Mises Schwarzovo kritérium Důvěryhodný interval Maximální a posteriori odhad Radikální pravděpodobnost
Techniky
Bayesiánská lineární regrese Bayesovský odhad Přibližný Bayesiánský výpočet Markovský řetězec Monte Carlo
Matematický portál

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Bayesova věta (alternativně Bayesův zákon nebo Bayesovo pravidlo), pojmenovaný po reverendovi Thomas Bayes, popisuje pravděpodobnost z událost, na základě předchozí znalosti podmínek, které mohou souviset s událostí.^[1] Například pokud je známo, že riziko rozvoje zdravotních problémů s věkem stoupá, Bayesova věta umožňuje, aby bylo riziko pro jedince známého věku posouzeno přesněji (podmíněno jeho věkem), než jednoduše předpokládat, že jedinec je typické pro populaci jako celek.

Jednou z mnoha aplikací Bayesovy věty je Bayesovský závěr, zvláštní přístup k statistická inference. Pokud se použijí, pravděpodobnosti zapojené do věty se mohou lišit pravděpodobnostní interpretace. S Bayesova pravděpodobnost interpretace, věta vyjadřuje, jak by se měl stupeň víry, vyjádřený jako pravděpodobnost, racionálně změnit, aby zohledňoval dostupnost souvisejících důkazů. Bayesiánský závěr je základem Bayesovské statistiky.

Výrok věty

Bayesova věta je uvedena matematicky jako následující rovnice:^[2]

kde ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou Události a ${ displaystyle P (B) neq 0}$.

• ${ displaystyle P (A střední B)}$ je podmíněná pravděpodobnost: pravděpodobnost události ${ displaystyle A}$ vzhledem k tomu ${ displaystyle B}$ je pravda.
• ${ displaystyle P (B mid A)}$ je také podmíněná pravděpodobnost: pravděpodobnost události ${ displaystyle B}$ vzhledem k tomu ${ displaystyle A}$ je pravda.
• ${ displaystyle P (A)}$ a ${ displaystyle P (B)}$ jsou pravděpodobnosti pozorování ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ respektive; oni jsou známí jako mezní pravděpodobnost.
• A a B musí být různé události.

Příklady

Testování drog

Obrázek 1: Použití pole frekvence k zobrazení ${ displaystyle P ({ text {Uživatel}} střední { text {Pozitivní}})}$ vizuálně porovnáním oblastí

Předpokládejme, že konkrétní test, zda někdo užíval konopí, je 90% citlivý, což znamená skutečná kladná sazba (TPR) = 0,90. Proto vede k 90% skutečně pozitivních výsledků (správná identifikace užívání drog) pro uživatele konopí.

Test je také 80% charakteristický, význam skutečná záporná sazba (TNR) = 0,80. Proto test správně identifikuje 80% nepoužívání pro uživatele, ale také generuje 20% falešných poplachů, nebo míra falešně pozitivních výsledků (FPR) = 0,20, pro uživatele, kteří nejsou uživateli.

Za předpokladu 0,05 prevalence, což znamená, že 5% lidí užívá konopí, což je pravděpodobnost že náhodný člověk, který má pozitivní testy, je ve skutečnosti uživatelem konopí?

The Pozitivní prediktivní hodnota (PPV) testu je podíl osob, které jsou ve skutečnosti pozitivní ze všech testovaných pozitivních, a lze jej vypočítat ze vzorku jako:

PPV = True positive / Tested positive

Pokud je známa citlivost, specificita a prevalence, lze PPV vypočítat pomocí Bayesovy věty. Nechat ${ displaystyle P ({ text {Uživatel}} střední { text {Pozitivní}})}$ znamená „pravděpodobnost, že někdo je uživatelem konopí vzhledem k tomu, že má pozitivní test,“ což znamená PPV. Můžeme psát:

${ displaystyle { begin {aligned} P ({ text {User}} mid { text {Positive}}) & = { frac {P ({ text {Positive}} mid { text {User }}) P ({ text {Uživatel}})} {P ({ text {Pozitivní}})}} & = { frac {P ({ text {Pozitivní}} střední { text { Uživatel}}) P ({ text {Uživatel}})} {P ({ text {Pozitivní}} střední { text {Uživatel}}) P ({ text {Uživatel}}) + P ({ text {Positive}} mid { text {Non-user}}) P ({ text {Non-user}})}} [8pt] & = { frac {0,90 krát 0,05} {0,90 krát 0,05 + 0,20 krát 0,95}} = { frac {0,045} {0,045 + 0,19}} přibližně 19 \% end {zarovnáno}}}$

Skutečnost, že ${ displaystyle P ({ text {Positive}}) = P ({ text {Positive}} mid { text {User}}) P ({ text {User}}) + P ({ text { Pozitivní}} mid { text {Non-user}}) P ({ text {Non-user}})}$ je přímá aplikace Zákon totální pravděpodobnosti. V tomto případě se říká, že pravděpodobnost, že někdo pozitivně testuje, je pravděpodobnost, že uživatel testuje pozitivně, krát pravděpodobnost, že bude uživatelem, plus pravděpodobnost, že ne-uživatel testuje pozitivně, krát, pravděpodobnost, že nebude uživatelem .

To je pravda, protože klasifikace uživatele a neuživatele tvoří a oddíl sady, a to soubor lidí, kteří podstoupí test na přítomnost drog. To v kombinaci s definicí podmíněná pravděpodobnost má za následek výše uvedené prohlášení.

I když někdo testuje pozitivně, pravděpodobnost, že je uživatelem konopí, je pouze 19%, protože v této skupině je uživateli pouze 5% lidí, většina pozitiv je falešných pozitiv pocházejících ze zbývajících 95%.

Pokud bylo testováno 1 000 lidí:

• 950 nepoužívá a 190 z nich dává falešně pozitivní výsledky (0,20 × 950)
• 50 z nich jsou uživatelé a 45 z nich dává skutečně kladné hodnoty (0,90 × 50)

1 000 lidí tak přináší 235 pozitivních testů, z nichž pouze 45 jsou skuteční uživatelé drog, přibližně 19%. Viz obrázek 1 pro ilustraci pomocí frekvenčního pole a všimněte si, jak malá je růžová oblast skutečných pozitivů ve srovnání s modrou oblastí falešných pozitiv.

Citlivost nebo specificita

Důležitost specifičnost lze vidět na ukázce, že i když je citlivost zvýšena na 100% a specificita zůstává na 80%, pravděpodobnost, že někdo bude mít pozitivní test ve skutečnosti, že je uživatelem konopí, vzroste pouze z 19% na 21%, ale pokud je citlivost udržována na 90% a specificita se zvýší na 95%, pravděpodobnost se zvýší na 49%.

Míra rakoviny

I když 100% pacientů s rakovinou pankreatu má určitý příznak, když má někdo stejný příznak, neznamená to, že tato osoba má 100% šanci na rakovinu pankreatu. Předpokládejme, že míra výskytu rakoviny pankreatu je 1/100 000, zatímco 1/10 000 zdravých jedinců má po celém světě stejné příznaky, pravděpodobnost výskytu rakoviny pankreatu je u těchto příznaků pouze 9,1% a dalších 90,9% může být „falešně pozitivních“ ( to je, mylně řečeno, že má rakovinu; „pozitivní“ je matoucí termín, když jako zde test dává špatné zprávy).

Na základě míry výskytu uvádí následující tabulka odpovídající počty na 100 000 lidí.

Který lze poté použít k výpočtu pravděpodobnosti rakoviny, když máte příznaky:

${ displaystyle { begin {aligned} P ({ text {Cancer}} | { text {Symptoms}}) & = { frac {P ({ text {Symptoms}} | { text {Cancer}} ) P ({ text {Cancer}})} {P ({ text {Symptoms}})}} & = { frac {P ({ text {Symptoms}} | { text {Cancer}} ) P ({ text {Cancer}})} {P ({ text {Symptoms}} | { text {Cancer}}) P ({ text {Cancer}}) + P ({ text {Symptoms} } | { text {Non-Cancer}}) P ({ text {Non-Cancer}})}} [8pt] & = { frac {1 krát 0,00001} {1 krát 0,00001+ (10 / 99999) krát 0,99999}} = { frac {1} {11}} přibližně 9,1 \% end {zarovnáno}}}$

Složitější příklad

Továrna vyrábí položku pomocí tří strojů - A, B a C - které tvoří 20%, 30% a 50% jejího výkonu. Z položek vyrobených strojem A je vadných 5%; podobně 3% položek stroje B a 1% stroje C jsou vadné. Pokud je náhodně vybraná položka vadná, jaká je pravděpodobnost, že byla vyrobena strojem C?

Odpovědi lze opět dosáhnout bez použití vzorce použitím podmínek na hypotetický počet případů. Například pokud továrna vyrobí 1 000 položek, 200 bude vyrobeno strojem A, 300 strojem B a 500 strojem C. Stroj A vyrobí 5% × 200 = 10 vadných položek, stroj B 3% × 300 = 9 a stroj C 1% × 500 = 5, celkem 24. Tudíž pravděpodobnost, že strojem C byla vyrobena náhodně vybraná vadná položka, je 5/24 (~ 20,83%).

Tento problém lze vyřešit také pomocí Bayesovy věty: Let X_i označuje událost, že náhodně vybraná položka byla vytvořena i ^th stroj (pro i = A, B, C). Nechat Y označuje událost, že náhodně vybraná položka je vadná. Poté dostaneme následující informace:

${ displaystyle P (X_ {A}) = 0,2, quad P (X_ {B}) = 0,3, quad P (X_ {C}) = 0,5.}$

Pokud byla položka vyrobena prvním strojem, pak je pravděpodobnost, že je vadná, 0,05; to je P(Y | X_A) = 0,05. Celkově ano

${ displaystyle P (Y | X_ {A}) = 0,05, quad P (Y | X_ {B}) = 0,03, quad P (Y | X_ {C}) = 0,01.}$

Abychom odpověděli na původní otázku, nejprve najdeme P(Y). To lze provést následujícím způsobem:

${ Displaystyle P (Y) = součet _ {i} P (Y | X_ {i}) P (X_ {i}) = (0,05) (0,2) + (0,03) (0,3) + (0,01) (0,5 ) = 0,024.}$

Proto je vadných 2,4% z celkového výkonu.

Dostali jsme to Y došlo a chceme vypočítat podmíněnou pravděpodobnost X_C. Podle Bayesovy věty,

${ displaystyle P (X_ {C} | Y) = { frac {P (Y | X_ {C}) P (X_ {C})} {P (Y)}} = { frac {0,01 cdot 0,50 } {0,024}} = { frac {5} {24}}}$

Vzhledem k tomu, že je položka vadná, je pravděpodobnost, že byla vyrobena strojem C, 5/24. Ačkoli stroj C produkuje polovinu celkového výkonu, produkuje mnohem menší zlomek vadných položek. Proto nám znalost, že vybraná položka byla vadná, umožňuje nahradit předchozí pravděpodobnost P(X_C) = 1/2 menší pravděpodobností zezadu P(X_C | Y) = 5/24.

Výklady

Obrázek 2: Geometrická vizualizace Bayesovy věty.

Výklad Bayesova pravidla závisí na interpretace pravděpodobnosti připisované podmínkám. Níže jsou popsány dva hlavní výklady. Obrázek 2 ukazuje geometrickou vizualizaci podobnou obrázku 1. Gerd Gigerenzer a spoluautoři usilovně prosazovali výuku Bayes Rule tímto způsobem, se zvláštním důrazem na výuku lékařů.^[3] Příkladem je webová stránka Willa Kurta „Bayesova věta s legem“, která se později změnila v knihu, Bayesian Statistics the Fun Way: Understanding Statistics and Probability with Star Wars, LEGO, and Rubber Ducks. Zhu a Gigerenzer v roce 2006 zjistili, že zatímco 0% žáků 4., 5. a 6. ročníku může řešit slovní úlohy poté, co byli vyučováni pomocí vzorců, 19%, 39% a 53% by mohli poté, co byli vyučováni pomocí frekvenčních boxů, a že učení byla buď důkladná, nebo nulová.^[4]

Bayesovská interpretace

V Bayesiánská (nebo epistemologická) interpretace, pravděpodobnost měří „stupeň víry“. Bayesova věta spojuje míru víry v propozici před a po započítání důkazů. Předpokládejme například, že se s 50% jistotou věří, že u mince je dvakrát větší pravděpodobnost, že přistane hlavou než ocasem. Pokud je mince otočena několikrát a budou pozorovány výsledky, bude tento stupeň víry pravděpodobně stoupat nebo klesat, ale podle výsledků může dokonce zůstat stejný. Pro nabídku A a důkazy B,

• P (A), předchozí, je počáteční stupeň víry v A.
• P (A | B), zadní, je míra víry po začlenění zpráv, které B je pravda.
• kvocient P(B | A)/P(B) představuje podporu B zajišťuje A.

Další informace o použití Bayesovy věty podle Bayesovské interpretace pravděpodobnosti viz Bayesovský závěr.

Častá interpretace

Obrázek 3: Ilustrace frekventovaného výkladu pomocí stromové diagramy.

V frekventovaný výklad, pravděpodobnost měří „podíl výsledků“. Předpokládejme například, že je experiment proveden mnohokrát. P(A) je podíl výsledků s majetkem A (předchozí) a P(B) je poměr s majetkem B. P(B | A) je podíl výsledků s majetkem B mimo výsledky s majetkem A, a P(A | B) je podíl osob s A mimo ti sB (zadní).

Role Bayesovy věty je nejlépe vizualizována pomocí stromových diagramů, jako je obrázek 3. Dva diagramy rozdělují stejné výsledky podle A a B v opačném pořadí, abychom získali inverzní pravděpodobnosti. Bayesova věta spojuje různá rozdělení.

Příklad

Obrázek 4: Stromový diagram ilustrující příklad brouka. R, C, P a ${ displaystyle { overline {P}}}$ jsou události vzácné, běžné, vzorec a žádný vzorec. Vypočítají se procenta v závorkách. Jsou uvedeny tři nezávislé hodnoty, takže je možné vypočítat inverzní strom.

An entomolog skvrny, které by mohly být kvůli vzoru na zádech vzácné poddruh z brouk. Celých 98% členů vzácného poddruhu má tento vzorec, takže P(Vzor | Vzácné) = 98%. Pouze 5% členů společného poddruhu má vzor. Vzácný poddruh tvoří 0,1% z celkové populace. Jak pravděpodobný je brouk se vzorem vzácný: co je P(Vzácné | Vzor)?

Z rozšířené formy Bayesovy věty (protože každý brouk je vzácný nebo běžný),

${ displaystyle { begin {aligned} P ({ text {Rare}} mid { text {Pattern}}) & = { frac {P ({ text {Pattern}} mid { text {Rare }}) P ({ text {Vzácné}})} {P ({ text {Pattern}})}} [8pt] & = { frac {P ({ text {Pattern}} mid { text {Vzácný}}) P ({ text {Vzácný}})} {P ({ text {Vzor}} střední { text {Vzácný}}) P ({ text {Vzácný}}) + P ({ text {Pattern}} mid { text {Common}}) P ({ text {Common}})}} [8pt] & = { frac {0,98 krát 0,001} {0,98 krát 0,001 + 0,05 krát 0,999}} [8 bodů] & přibližně 1,9 \% konec {zarovnáno}}}$

formuláře

Události

Jednoduchá forma

Pro události A a B, za předpokladu, že P(B) ≠ 0,

${ displaystyle P (A | B) = { frac {P (B | A) P (A)} {P (B)}} cdot}$

V mnoha aplikacích, například v Bayesovský závěr, událost B je stanovena v diskusi a my bychom chtěli zvážit dopad jejího pozorování na naši víru v různé možné události A. V takové situaci jmenovatel posledního výrazu, pravděpodobnost daného důkazu B, je opraveno; to, co se chceme lišit, je A. Bayesova věta pak ukazuje, že zadní pravděpodobnosti jsou úměrný do čitatele, takže poslední rovnice bude:

${ displaystyle P (A | B) propto P (A) cdot P (B | A)}$ .

Řečeno slovy, posterior je úměrný předchozím časům pravděpodobnosti.^[5]

Pokud události A₁, A₂, ..., se vzájemně vylučují a jsou vyčerpávající, tj. jeden z nich se jistě vyskytne, ale nemohou se vyskytnout dva společně, můžeme určit konstantu proporcionality pomocí skutečnosti, že jejich pravděpodobnosti se musí sčítat k jedné. Například pro danou událost A, událost A sám o sobě a jeho doplněk ¬A jsou exkluzivní a vyčerpávající. Označení konstanty proporcionality pomocí C my máme

${ displaystyle P (A | B) = c cdot P (A) cdot P (B | A) { text {a}} P ( neg A | B) = c cdot P ( neg A) cdot P (B | neg A).}$

Přidáním těchto dvou vzorců to odvodíme

${ displaystyle 1 = c cdot (P (B | A) cdot P (A) + P (B | neg A) cdot P ( neg A)),}$

nebo

${ displaystyle c = { frac {1} {P (B | A) cdot P (A) + P (B | neg A) cdot P ( neg A)}} = { frac {1} {P (B)}}.}$

Alternativní forma

Další forma Bayesovy věty pro dvě konkurenční tvrzení nebo hypotézy je:

${ displaystyle P (A | B) = { frac {P (B | A) P (A)} {P (B | A) P (A) + P (B | neg A) P ( neg A )}}.}$

Pro epistemologický výklad:

Pro nabídku A a důkazy nebo pozadí B,^[6]

• ${ displaystyle P (A)}$ je předchozí pravděpodobnost, počáteční stupeň víry v A.
• ${ displaystyle P ( neg A)}$ je odpovídající počáteční stupeň víry v ne-A, že A je nepravdivé, kde ${ displaystyle P ( neg A) = 1-P (A)}$
• ${ displaystyle P (B | A)}$ je podmíněná pravděpodobnost nebo pravděpodobnost, stupeň víry v B vzhledem k tomuto návrhu A je pravda.
• ${ displaystyle P (B | neg A)}$ je podmíněná pravděpodobnost nebo pravděpodobnost, stupeň víry v B vzhledem k tomuto návrhu A je nepravdivé.
• ${ displaystyle P (A | B)}$ je zadní pravděpodobnost, pravděpodobnost A po zohlednění B.

Rozšířená forma

Pro některé často rozdělit {A_j} z ukázkový prostor, prostor události je uveden v termínech P(A_j) a P(B | A_j). Je pak užitečné počítat P(B) za použití zákon celkové pravděpodobnosti:

${ displaystyle P (B) = { součet _ {j} P (B | A_ {j}) P (A_ {j})},}$

${ displaystyle Rightarrow P (A_ {i} | B) = { frac {P (B | A_ {i}) P (A_ {i})} { součet limity _ {j} P (B | A_ {j}) P (A_ {j})}} cdot}$

Ve zvláštním případě, kdy A je binární proměnná:

${ displaystyle P (A | B) = { frac {P (B | A) P (A)} {P (B | A) P (A) + P (B | neg A) P ( neg A )}} cdot}$

Náhodné proměnné

Obrázek 5: Bayesova věta aplikovaná na prostor událostí generovaný spojitými náhodnými proměnnými X a Y. Pro každý bod v. Existuje instance Bayesovy věty doména. V praxi lze tyto instance parametrizovat zapsáním zadaných hustot pravděpodobnosti jako a funkce z X a y.

Zvažte a ukázkový prostor Ω generovaný dvěma náhodné proměnné X a Y. V zásadě platí pro události Bayesova věta A = {X = X} a B = {Y = y}.

${ displaystyle P (X {=} x | Y {=} y) = { frac {P (Y {=} y | X {=} x) P (X {=} x)} {P (Y { =} y)}}}$

Termíny se však stanou 0 v bodech, kde má každá proměnná konečnou hodnotu hustota pravděpodobnosti. Aby zůstal užitečný, musí být Bayesova věta formulována z hlediska příslušných hustot (viz Derivace ).

Jednoduchá forma

Li X je spojitý a Y je diskrétní,

${ displaystyle f_ {X | Y {=} y} (x) = { frac {P (Y {=} y | X {=} x) f_ {X} (x)} {P (Y {=} y)}}}$

kde každý ${ displaystyle f}$ je funkce hustoty.

Li X je diskrétní a Y je spojitý,

${ displaystyle P (X {=} x | Y {=} y) = { frac {f_ {Y | X {=} x} (y) P (X {=} x)} {f_ {Y} ( y)}}.}$

Pokud obojí X a Y jsou spojité,

${ displaystyle f_ {X | Y {=} y} (x) = { frac {f_ {Y | X {=} x} (y) f_ {X} (x)} {f_ {Y} (y) }}.}$

Rozšířená forma

Obrázek 6: Způsob konceptualizace prostorů událostí generovaných spojitými náhodnými proměnnými X a Y.

Kontinuální prostor událostí je často pojat z hlediska čitatelů. Potom je užitečné eliminovat jmenovatele pomocí zákon celkové pravděpodobnosti. Pro F_Y(y), stává se integrálem:

${ displaystyle f_ {Y} (y) = int _ {- infty} ^ { infty} f_ {Y | X = xi} (y) f_ {X} ( xi) , d xi. }$

Bayesovo pravidlo

Bayesova věta v kurzový formulář je:

${ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = O (A_ {1}: A_ {2}) cdot Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B)}$

kde

${ displaystyle Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) = { frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}}}$

se nazývá Bayesův faktor nebo míra pravděpodobnosti. Kurz mezi dvěma událostmi je jednoduše poměr pravděpodobností těchto dvou událostí. Tím pádem

${ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2}) = { frac {P (A_ {1})} {P (A_ {2})}},}$

${ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = { frac {P (A_ {1} | B)} {P (A_ {2} | B)}},}$

Pravidlo tedy říká, že zadní kurzy jsou předchozí kurzy krát Bayesův faktor, nebo jinými slovy, zadní část je úměrná předchozím časům pravděpodobnosti.

Ve zvláštním případě ${ displaystyle A_ {1} = A}$ a ${ displaystyle A_ {2} = neg A}$, píše jeden ${ displaystyle O (A) = O (A: neg A) = P (A) / (1-P (A))}$a používá podobnou zkratku pro Bayesův faktor a pro podmíněné kurzy. Šance na ${ displaystyle A}$ je podle definice šance pro a proti ${ displaystyle A}$. Bayesovo pravidlo pak lze napsat ve zkrácené formě

${ displaystyle O (A | B) = O (A) cdot Lambda (A | B),}$

nebo, slovy, zadní šance na ${ displaystyle A}$ se rovná předchozímu kurzu na ${ displaystyle A}$ násobek poměru pravděpodobnosti pro ${ displaystyle A}$ dané informace ${ displaystyle B}$. Ve zkratce, zadní šance se rovnají předchozím poměrům šancí a pravděpodobnosti.

Derivace

Pro události

Bayesova věta může být odvozena z definice podmíněná pravděpodobnost:

${ displaystyle P (A mid B) = { frac {P (A cap B)} {P (B)}}, { text {if}} P (B) neq 0,}$

${ displaystyle P (B mid A) = { frac {P (B cap A)} {P (A)}}, { text {if}} P (A) neq 0,}$

kde ${ displaystyle P (A cap B)}$ je společná pravděpodobnost že A i B jsou pravdivé. Protože

${ displaystyle P (B cap A) = P (A cap B)}$,

${ displaystyle Rightarrow P (A cap B) = P (A mid B) P (B) = P (B mid A) P (A)}$

${ displaystyle Rightarrow P (A mid B) = { frac {P (B mid A) P (A)} {P (B)}}, { text {if}} P (B) neq 0.}$

Pro náhodné proměnné

Pro dva nepřetržité náhodné proměnné X a Y, Bayesova věta může být analogicky odvozena z definice podmíněná hustota:

${ displaystyle f_ {X mid Y = y} (x) = { frac {f_ {X, Y} (x, y)} {f_ {Y} (y)}}}$

${ displaystyle f_ {Y mid X = x} (y) = { frac {f_ {X, Y} (x, y)} {f_ {X} (x)}}}$

Proto,

${ displaystyle f_ {X mid Y = y} (x) = { frac {f_ {Y mid X = x} (y) f_ {X} (x)} {f_ {Y} (y)}} .}$

Korespondence s jinými matematickými rámci

Výroková logika

Bayesova věta představuje zobecnění kontrapozice v kterém výroková logika lze vyjádřit jako:

${ displaystyle ( lnot A to lnot B) to (B to A).}$

Odpovídající vzorec, pokud jde o počet pravděpodobnosti, je Bayesova věta, která je ve své rozšířené formě vyjádřena jako:

${ displaystyle P (A mid B) = { frac {P (B mid A) a (A)} {P (B mid A) a (A) + P (B mid lnot A) a ( lnot A)}}.}$

V rovnici nad podmíněná pravděpodobnost ${ displaystyle P (B mid A)}$ zobecňuje logické tvrzení ${ displaystyle (A až B)}$, tj. kromě přiřazení PRAVDA nebo NEPRAVDA můžeme výkazu přiřadit i jakoukoli pravděpodobnost. Termín ${ displaystyle a (A)}$ označuje předchozí pravděpodobnost (aka základní sazba ) z ${ displaystyle A}$. Předpokládat, že ${ displaystyle P (A mid B) = 1}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle (B až A)}$ být PRAVDA, a to ${ displaystyle P (A mid B) = 0}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle (B až A)}$ být FALSE. To je pak snadno vidět ${ displaystyle P (A mid B) = 1}$ když ${ displaystyle P ( lnot B mid lnot A) = 1}$ tj. kdy ${ displaystyle ( lnote A to lnote B)}$ je pravda. To je proto, že ${ Displaystyle P (B mid lnot A) = 1-P ( lnot B mid lnot A) = 0}$ takže zlomek na pravé straně výše uvedené rovnice je roven 1, a tedy ${ displaystyle P (A mid B) = 1}$ což odpovídá ${ displaystyle (B až A)}$ být PRAVDA. Bayesova věta tedy představuje zobecnění kontrapozice.^[7]

Subjektivní logika

Bayesova věta představuje speciální případ podmíněné inverze v subjektivní logika vyjádřeno jako:

${ displaystyle ( omega _ {A { tilde {|}} B} ^ {S}, omega _ {A { tilde {|}} lnot B} ^ {S}) = ( omega _ { B mid A} ^ {S}, omega _ {B mid lnot A} ^ {S}) { widetilde { phi}} a_ {A},}$

kde ${ displaystyle { widetilde { phi}}}$ označuje operátor podmíněné inverze. Argument ${ displaystyle ( omega _ {B mid A} ^ {S}, omega _ {B mid lnot A} ^ {S})}$ označuje dvojici binomických podmíněných názorů poskytnutých zdrojem ${ displaystyle S}$a argument ${ displaystyle a_ {A}}$ označuje předchozí pravděpodobnost (aka základní sazba ) z ${ displaystyle A}$. Je označena dvojice obrácených podmíněných názorů ${ displaystyle ( omega _ {A { tilde {|}} B} ^ {S}, omega _ {A { tilde {|}} lnot B} ^ {S})}$. Podmíněné stanovisko ${ displaystyle omega _ {A mid B} ^ {S}}$ zobecňuje pravděpodobnostní podmínku ${ displaystyle P (A střední B)}$, tj. kromě přiřazení pravděpodobnosti zdroje ${ displaystyle S}$ může k podmíněnému tvrzení přiřadit jakýkoli subjektivní názor ${ displaystyle (A mid B)}$. Binomický subjektivní názor ${ displaystyle omega _ {A} ^ {S}}$ je víra v pravdivost tvrzení ${ displaystyle A}$ se stupni epistemické nejistoty, jak je vyjádřeno zdrojem ${ displaystyle S}$. Každý subjektivní názor má odpovídající předpokládanou pravděpodobnost ${ displaystyle P ( omega _ {A} ^ {S})}$. Aplikace Bayesovy věty na předpokládané pravděpodobnosti názorů je a homomorfismus, což znamená, že Bayesovu teorém lze vyjádřit z hlediska předpokládaných pravděpodobností názorů:

${ displaystyle P ( omega _ {A { tilde {|}} B} ^ {S}) = { frac {P ( omega _ {B mid A} ^ {S}) a (A)} {P ( omega _ {B mid A} ^ {S}) a (A) + P ( omega _ {B mid lnot A} ^ {S}) a ( lnot A)}}.}$

Subjektivní Bayesova věta tedy představuje zobecnění Bayesovy věty.^[8]

Zobecnění

Podmíněná verze

Podmíněná verze Bayesovy věty^[9] výsledky přidání třetí události ${ displaystyle C}$ na kterých jsou podmíněny všechny pravděpodobnosti:

${ displaystyle P (A mid B cap C) = { frac {P (B mid A cap C) , P (A mid C)} {P (B mid C)}}}$

Derivace

Za použití řetězové pravidlo

${ displaystyle P (A cap B cap C) = P (A mid B cap C) , P (B mid C) , P (C)}$

A na druhou stranu

${ Displaystyle P (A cap B cap C) = P (B cap A cap C) = P (B mid A cap C) , P (A mid C) , P (C) }$

Požadovaný výsledek se získá identifikací výrazů a řešením pro ${ displaystyle P (A mid B cap C)}$.

Bayesovo pravidlo se 3 událostmi

V případě 3 událostí - A, B a C - lze ukázat, že:

${ displaystyle P (A mid B, C) = { frac {P (B mid A, C) ; P (A mid C)} {P (B mid C)}}}$

Dějiny

Bayesova věta je pojmenována po reverendovi Thomas Bayes (/beɪz/; 1701? –1761), který nejprve použil podmíněnou pravděpodobnost k poskytnutí algoritmu (jeho Propozice 9), který používá důkazy pro výpočet limitů pro neznámý parametr, publikovaný jako Esej k řešení problému v Nauce o šancích (1763). Studoval, jak vypočítat distribuci pro parametr pravděpodobnosti a binomická distribuce (v moderní terminologii). Bayesův nepublikovaný rukopis významně upravil Richard Price než to bylo posmrtně přečteno v královská společnost. Cena upravena^[11] Bayesovo hlavní dílo “Esej k řešení problému v Nauce o šancích "(1763), který se objevil v Filozofické transakce,^[12] a obsahuje Bayesovu větu. Price napsal úvod k článku, který poskytuje některé z filozofických základů Bayesovské statistiky. V roce 1765 byl zvolen členem Královské společnosti jako uznání jeho práce na odkazu Bayes.^[13][14] V tom, co nazýval scholium, rozšířil Bayes svůj algoritmus na jakoukoli neznámou předchozí příčinu.

Nezávisle na Bayes, Pierre-Simon Laplace v roce 1774 a později v roce 1812 Théorie analytique des probabilités, používá podmíněnou pravděpodobnost k formulaci vztahu aktualizovaného zadní pravděpodobnost z předchozí pravděpodobnosti, podaný důkaz. Reprodukoval a rozšířil Bayesovy výsledky v roce 1774, očividně nevěděl o Bayesově práci.^{[poznámka 1][15]} The Bayesovská interpretace pravděpodobnosti vyvinul hlavně Laplace.^[16]

Sir Harold Jeffreys dát Bayesův algoritmus a Laplaceovu formulaci na axiomatický základ, psaní, že Bayesova věta "je k teorii pravděpodobnosti, co Pythagorova věta je geometrie ".^[17]

Stephen Stigler použil Bayesiánský argument k závěru, že Bayesovu teorii objevil Nicholas Saunderson, slepý anglický matematik, nějaký čas před Bayesem;^[18][19] tento výklad však byl zpochybněn.^[20]Martyn Hooper^[21] a Sharon McGrayne^[22] argumentovali tím Richard Price Příspěvek byl značný:

Podle moderních standardů bychom měli odkazovat na pravidlo Bayes – Price. Price objevil Bayesovu práci, uznal její důležitost, opravil ji, přispěl k článku a našel pro ni využití. Samotná moderní konvence zaměstnávající Bayesovo jméno je nespravedlivá, ale tak zakořeněná, že nic jiného nedává smysl.^[22]

Použití v genetice

V genetice lze Bayesovu větu použít k výpočtu pravděpodobnosti, že jedinec bude mít určitý genotyp. Mnoho lidí se snaží přiblížit své šance na ovlivnění genetickým onemocněním nebo jejich pravděpodobnost, že budou nositelem recesivního genu zájmu. Bayesiánskou analýzu lze provést na základě rodinné anamnézy nebo genetického testování, aby bylo možné předpovědět, zda se u jednotlivce vyvine nemoc nebo ji předá svým dětem. Genetické testování a predikce jsou běžnou praxí mezi páry, které plánují mít děti, ale obávají se, že oba mohou být nositeli nemoci, zejména v komunitách s nízkou genetickou variabilitou.^{[Citace je zapotřebí ]}

Prvním krokem Bayesovské analýzy pro genetiku je navrhnout vzájemně se vylučující hypotézy: pro konkrétní alelu je jedinec buď nositelem, nebo není. Dále se vypočítají čtyři pravděpodobnosti: Pravděpodobnost předchozí (pravděpodobnost každé hypotézy s ohledem na informace, jako je rodinná anamnéza nebo předpovědi založené na Mendelově dědičnosti), Podmíněná pravděpodobnost (určitého výsledku), Společná pravděpodobnost (produkt prvních dvou) a Zadní Pravděpodobnost (vážený součin vypočítaný dělením společné pravděpodobnosti pro každou hypotézu součtem obou společných pravděpodobností). Tento typ analýzy lze provést čistě na základě rodinné anamnézy stavu nebo ve shodě s genetickým testováním.^{[Citace je zapotřebí ]}

Pomocí rodokmenu k výpočtu pravděpodobností

Příklad Bayesovské analytické tabulky pro riziko ženského onemocnění pro nemoc na základě znalosti, že nemoc je přítomna u jejích sourozenců, ale ne u jejích rodičů nebo u některého z jejích čtyř dětí. Pouze na základě stavu sourozenců a rodičů subjektu je pravděpodobné, že bude přenašečem i nepřenášencem (tato pravděpodobnost je označena předchozí hypotézou). Pravděpodobnost, že by všichni čtyři synové subjektu nebyli ovlivněni, je však 1/16 (½ · ½ · ½ · ½), pokud je nositelkou, přibližně 1, pokud není nositelkou (jedná se o podmíněnou pravděpodobnost). Společná pravděpodobnost spojuje tyto dvě předpovědi jejich vynásobením. Poslední řádek (zadní pravděpodobnost) se vypočítá vydělením společné pravděpodobnosti pro každou hypotézu součtem obou společných pravděpodobností.^[23]

Pomocí výsledků genetických testů

Genetické testování rodičů, přestože je stále kontroverzní praxí, dokáže u rodičů detekovat přibližně 90% známých alel onemocnění, které mohou vést k přenosu nebo ovlivnění stavu jejich dítěte. Cystická fibróza je dědičné onemocnění způsobené autozomálně recesivní mutací genu CFTR,^[24] nachází se na rameni q chromozomu 7.^[25]

Bayesiánská analýza pacientky s rodinnou anamnézou cystické fibrózy (CF), u které byl negativní test na CF, demonstruje, jak byla tato metoda použita k určení jejího rizika narození dítěte s CF:

Protože pacientka není ovlivněna, je buď homozygotní pro alelu divokého typu, nebo heterozygotní. Pro stanovení dřívějších pravděpodobností se používá Punnettův čtverec na základě znalosti, že žádný z rodičů nebyl postižen nemocí, ale oba mohli být nositeli:

Vzhledem k tomu, že pacient není ovlivněn, existují pouze tři možnosti. V rámci těchto tří existují dva scénáře, ve kterých pacient nese mutovanou alelu. Předchozí pravděpodobnosti jsou tedy ⅔ a ⅓.

Poté pacient podstoupí genetické testování a negativní testy na cystickou fibrózu. Tento test má 90% míru detekce, takže podmíněné pravděpodobnosti negativního testu jsou 1/10 a 1. Nakonec se vypočítají společné a zadní pravděpodobnosti jako dříve.

Po provedení stejné analýzy na pacientově mužském partnerovi (s negativním výsledkem testu) se šance na postižení jejich dítěte rovnají součinu příslušných zadních pravděpodobností rodičů, že budou nositeli, krát šance, že dva nositelé vytvoří postižený potomek (¼).

Genetické testování prováděno souběžně s identifikací dalších rizikových faktorů.

Bayesiánskou analýzu lze provést pomocí fenotypových informací souvisejících s genetickým stavem a v kombinaci s genetickým testováním se tato analýza stává mnohem komplikovanější. Například cystická fibróza může být u plodu identifikována pomocí ultrazvuku, který hledá echogenní střevo, což znamená ten, který se na skenování jeví jasnější než obvykle2. Nejedná se o spolehlivý test, protože u dokonale zdravého plodu může být přítomno echogenní střevo. Rodičovské genetické testování je v tomto případě velmi vlivné, kde fenotypový aspekt může mít příliš velký vliv na výpočet pravděpodobnosti. V případě plodu s echogenním střevem, u matky, která byla testována a je známo, že je nositelkou CF, je zadní pravděpodobnost, že plod skutečně má toto onemocnění, velmi vysoká (0,64). Jakmile však otec negativně testuje na CF, zadní pravděpodobnost významně klesá (na 0,16).^[23]

Výpočet rizikových faktorů je mocným nástrojem v genetickém poradenství a reprodukčním plánování, nelze jej však považovat za jediný důležitý faktor, který je třeba vzít v úvahu. Jak je uvedeno výše, neúplné testování může přinést falešně vysokou pravděpodobnost stavu dopravce a testování může být finančně nepřístupné nebo neproveditelné, pokud není přítomen rodič.

Viz také

• Indukční pravděpodobnost
• Kvantový bayesianismus
• Proč jsou většina zveřejněných zjištění výzkumu nepravdivá

Poznámky

Reference

Další čtení

• Grunau, Hans-Christoph (24 January 2014). "Preface Issue 3/4-2013". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 115 (3–4): 127–128. doi:10.1365/s13291-013-0077-z.
• Gelman, A, Carlin, JB, Stern, HS, and Rubin, DB (2003), "Bayesian Data Analysis," Second Edition, CRC Press.
• Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)," American Mathematical Society (free pdf available) [1].
• "Bayes formula", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• McGrayne, SB (2011). The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines & Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press. ISBN  978-0-300-18822-6.
• Laplace, Pierre Simon (1986). "Memoir on the Probability of the Causes of Events". Statistická věda. 1 (3): 364–378. doi:10.1214/ss/1177013621. JSTOR  2245476.
• Lee, Peter M (2012), "Bayesian Statistics: An Introduction," 4th edition. Wiley. ISBN  978-1-118-33257-3.
• Puga JL, Krzywinski M, Altman N (31 March 2015). "Bayes' theorem". Přírodní metody. 12 (4): 277–278. doi:10.1038/nmeth.3335. PMID  26005726.
• Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN  9781862079960).
• Stigler, Stephen M. (August 1986). "Laplace's 1774 Memoir on Inverse Probability". Statistická věda. 1 (3): 359–363. doi:10.1214/ss/1177013620.
• Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
• Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
• Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners " Blue Windmill ISBN  978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).

externí odkazy

• Bayesova věta na Encyklopedie Britannica
• The Theory That Would Not Die by Sharon Bertsch McGrayne New York Times Book Review by John Allen Paulos dne 5. srpna 2011
• Visual explanation of Bayes using trees (video)
• Bayes' frequentist interpretation explained visually (video)
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B). Contains origins of "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes", and "Bayes Factor".
• Weisstein, Eric W. "Bayes' Theorem". MathWorld.
• Bayesova věta na PlanetMath.
• Bayes Theorem and the Folly of Prediction
• A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for Oxford University psychology students
• An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky
• Online demonstrator of the subjective Bayes' theorem