Atiyah algebroid - Atiyah algebroid

v matematika, Atiyah algebroidnebo Sekvence Atiyah, a ředitel školy G- svazek P přes potrubí M, kde G je Lež skupina, je Lež algebroid měřidla grupoid z P. Výslovně je dán následujícím krátká přesná sekvence z vektorové svazky přes M:

${ displaystyle 0 to P times _ {G} { mathfrak {g}} na TP / G na TM na 0.}$

Je pojmenován po Michael Atiyah, který představil konstrukci ke studiu teorie existence komplexní analytické připojení a má aplikace v teorie měřidel a mechanika.

Přímá konstrukce

Pro všechny svazek vláken P přes potrubí M, s projekcí π: P→M, rozdíl dπ z π definuje krátkou přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až VP až TP { xrightarrow {d pi}} pi ^ {*} TM až 0}$

vektorových svazků P, Kde svislý svazek VP je jádro diferenciální projekce.

Li P je jistina G-bundle, pak skupina G činy na vektorových svazcích v tomto pořadí. Svislý svazek je izomorfní s triviálním G svazek přes P, kde G je Lež algebra z Ga kvocient podle úhlopříčky G akce je přidružený balíček P ×_G G. Kvocient podle G této přesné sekvence tedy získá Atiyahovu sekvenci vektorových svazků M.

Leží skupinové hledisko

Jakýkoli jistina G- svazek P→M má měřicí grupoid, jehož objekty jsou body M, a jejichž morfismy jsou prvky kvocientu P×P úhlopříčným působením G, přičemž zdroj a cíl jsou dány dvěma projekcemi z M. The Lež algebroid z toho Lež skupinový je algebroid Atiyah.

Prostor sekce atiyahského algebroidu M je Lež algebra z G-invariantní vektorová pole na P pod Ležící závorka, což je rozšíření Lieovy algebry vektorových polí M podle G-invariantní svislá vektorová pole. V algebraickém nebo analytickém kontextu je pohodlnější zobrazit Atiyah algebroid jako přesnou posloupnost snopy místních sekcí vektorových svazků.

Reference

• Michael F. Atiyah (1957), „Komplexní analytická spojení ve svazcích vláken“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 85: 181–207, doi:10.1090 / s0002-9947-1957-0086359-5.
• Janusz Grabowski; Alexej Kotov a Norbert Poncin (2011), „Geometrické struktury zakódované ve struktuře lži Atijahova algebroidu“, Transformační skupiny, 16: 137–160, arXiv:0905.1226, doi:10.1007 / s00031-011-9126-9, k dispozici jako arXiv: 0905.1226.
• Kirill Mackenzie (1987), Leží grupoidy a Leží algebroidy v diferenciální geometriiPoznámky k přednášce London Mathematical Society, 124CUP, ISBN  978-0-521-34882-9.
• Kirill Mackenzie (2005), Obecná teorie lží grupoidů a lží algebroidůPoznámky k přednášce London Mathematical Society, 213CUP, ISBN  978-0-521-49928-6.
• Tom Mestdag & Bavo Langerock (2005), „A Lie algebroid framework for non-holonomic systems“, J. Phys. A: Math. Gen., 38: 1097–1111, arXiv:matematika / 0410460, Bibcode:2005JPhA ... 38.1097M, doi:10.1088/0305-4470/38/5/011.