Arens náměstí - Arens square

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Arens square“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie vodítko pozoruhodnosti čísel. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: „Arens square“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Arens náměstí je topologický prostor.

Definice

Arens square je topologický prostor ${ displaystyle (X, tau)}$ kde

${ displaystyle X = ((0,1) ^ {2} cap mathbb {Q} ^ {2}) pohár {(0,0) } pohár {(1,0) } cup {(1/2, r { sqrt {2}}) | r in mathbb {Q}, 0$

Topologie ${ displaystyle tau}$ je definována z následujícího základ. Každý bod ${ displaystyle (0,1) ^ {2} cap mathbb {Q} ^ {2}}$ je dána místní základ relativně otevřených sad zděděných z Euklidovská topologie na ${ displaystyle (0,1) ^ {2}}$. Zbývající body ${ displaystyle X}$ jsou uvedeny místní základny

• ${ displaystyle U_ {n} (0,0) = {(0,0) } pohár {(x, y) | 0$
• ${ displaystyle U_ {n} (1,0) = {(1,0) } pohár {(x, y) | 3/4$
• ${ displaystyle U_ {n} (1/2, r { sqrt {2}}) = {(x, y) | 1/4$

Vlastnosti

Prostor ${ displaystyle (X, tau)}$ splňuje, že:

1. je T_2​¹⁄2, protože ani jeden z bodů ${ displaystyle (0,1) ^ {2} cap mathbb {Q} ^ {2}}$, ani ${ displaystyle (0,0)}$, ani ${ displaystyle (0,1)}$ může mít stejnou druhou souřadnici jako bod formuláře ${ displaystyle (1/2, r { sqrt {2}})}$, pro ${ displaystyle r in mathbb {Q}}$.
2. není T₃ nebo T_3​¹⁄2, od ${ displaystyle (0,0) v U_ {n} (0,0)}$ není tam žádná otevřená sada ${ displaystyle U}$ takhle ${ displaystyle (0,0) v U podmnožině { overline {U}} podmnožině U_ {n} (0,0)}$ od té doby ${ displaystyle { overline {U}}}$ musí obsahovat bod, jehož první souřadnice je ${ displaystyle 1/4}$, ale žádný takový bod neexistuje v ${ displaystyle U_ {n} (0,0)}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N}}$.
3. není Urysohn, protože existence spojité funkce ${ displaystyle f: X až [0,1]}$ takhle ${ displaystyle f (0,0) = 0}$ a ${ displaystyle f (1,0) = 1}$ znamená, že inverzní obrazy otevřených množin ${ displaystyle [0,1 / 4)}$ a ${ displaystyle (3 / 4,1]}$ z ${ displaystyle [0,1]}$ s euklidovskou topologií, by muselo být otevřené. Tyto inverzní obrazy by tedy musely obsahovat ${ displaystyle U_ {n} (0,0)}$ a ${ displaystyle U_ {m} (1,0)}$ pro některé ${ displaystyle m, n in mathbb {N}}$. Pak pokud ${ displaystyle r { sqrt {2}} < min {1 / n, 1 / m }}$, došlo by k tomu ${ displaystyle f (1/2, r { sqrt {2}})}$ není v ${ displaystyle [0,1 / 4) čepice (3 / 4,1] = emptyset}$. Za předpokladu, že ${ displaystyle f (1/2, r { sqrt {2}}) notin [0,1 / 4)}$, pak existuje otevřený interval ${ displaystyle U ni f (1/2, r { sqrt {2}})}$ takhle ${ displaystyle { overline {U}} cap [0,1 / 4) = emptyset}$. Ale pak inverzní obrazy ${ displaystyle { overline {U}}}$ a ${ displaystyle { overline {[0,1 / 4)}}}$ pod ${ displaystyle f}$ by byly disjunktní uzavřené množiny obsahující otevřené množiny, které obsahují ${ displaystyle (1/2, r { sqrt {2}})}$ a ${ displaystyle (0,0)}$, resp. Od té doby ${ displaystyle r { sqrt {2}} < min {1 / n, 1 / m }}$, tyto uzavřené sady obsahují ${ displaystyle U_ {n} (0,0)}$ a ${ displaystyle U_ {k} (1/2, r { sqrt {2}})}$ pro některé ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ nemůže být disjunktní. Podobný rozpor nastává, když se předpokládá ${ displaystyle f (1/2, r { sqrt {2}}) notin (3 / 4,1]}$.
4. je semiregulární, protože základ sousedství, který definoval topologii, tvoří pravidelné otevřené množiny.
5. je spočítatelné druhé, od té doby ${ displaystyle X}$ je spočetný a každý bod má spočetnou místní základnu. Na druhou stranu ${ displaystyle (X, tau)}$ není ani slabě spočetně kompaktní, ani lokálně kompaktní.
6. je úplně odpojen ale ne úplně oddělené, protože každá z jejích připojených komponent a její kvazikomponenty jsou všechny jednotlivé body, s výjimkou sady ${ displaystyle {(0,0), (1,0) }}$ což je dvoubodový kvazikomponent.
7. není rozptýlen (každá neprázdná podmnožina ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle X}$ obsahuje bod izolovaný v ${ displaystyle A}$), protože každá sada základů je sám o sobě hustý.
8. není nulový rozměr, od té doby ${ displaystyle (0,0)}$ nemá místní základ sestávající z otevřených a uzavřených sad. Je to proto, že pro ${ displaystyle x v [0,1]}$ dost malé, body ${ displaystyle (x, 1/4)}$ by byly mezní body, ale ne vnitřní body každé základní sady.

Reference

• Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr., Protiklady v topologii. Springer-Verlag, New York, 1978. Přetištěno v Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Vydání Doveru).