Appert topologie - Appert topology

v obecná topologie, obor matematiky, Appert topologie, pojmenovaný pro Antoina Apperta (1934 ), je topologie na scéně X = Z⁺ = {1, 2, 3, …} z kladná celá čísla.^[1]V topologii Appert jsou otevřené množiny ty, které neobsahují 1, a ty, které asymptoticky obsahují téměř každé kladné celé číslo. Prostor X s topologií Appert se nazývá Příhodný prostor.^[1]

Konstrukce

Pro podmnožinu S z X, nechť N (n,S) označit počet prvků S které jsou menší nebo rovny n:

${ displaystyle mathrm {N} (n, S) = # {m v S: m leq n }.}$

S je definován jako otevřený v topologii Appert, pokud buď neobsahuje 1, nebo pokud má asymptotická hustota rovna 1, tj. splňuje

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {{ text {N}} (n, S)} {n}} = 1}$.

Prázdná sada je otevřená, protože neobsahuje 1 a celou sadu X je otevřen od${ displaystyle { text {N}} (n, X) / n = 1}$ pro všechny n.

Související topologie

Topologie Appert úzce souvisí s Prostor pevnosti topologie, která vyvstává z toho, že množina celých čísel je větší než jedna diskrétní topologie, a poté brát bod 1 jako bod v nekonečnu v a jednobodové zhutnění prostoru.^[1] Appertova topologie je jemnější než topologie vesmíru Fort, jakákoli cofinite podmnožina X má asymptotickou hustotu rovnou 1.

Vlastnosti

• Uzavřené podmnožiny S z X jsou ty, které buď obsahují 1, nebo které mají nulovou asymptotickou hustotu, a to ${ displaystyle lim _ {n to infty} mathrm {N} (n, S) / n = 0}$.

• Každý bod X má místní základ z clopen soupravy, tj., X je nulový prostor.^[1]
  Důkaz: Každé otevřené sousedství 1 je také uzavřeno. Pro všechny ${ displaystyle x neq 1}$, ${ displaystyle {x }}$ je zavřený i otevřený.

• X je Hausdorff a naprosto normální (T.₆).
  Důkaz: X je T₁. Vzhledem k tomu, že existují dvě disjunktní uzavřené sady A a B, řekněme alespoň jeden z nich A, neobsahuje 1. A je pak clopen a A a jeho doplněk jsou disjunktní příslušná sousedství A a B, což ukazuje X je normální a Hausdorff. Nakonec jakákoli podmnožina, zejména jakákoli uzavřená podmnožina, v spočetném T₁ vesmír je G._δ, tak X je naprosto normální.

• X je spočítatelné, ale ne nejprve spočítatelné,^[1] a tedy ne spočítatelné druhé a ne měřitelný.

• Podmnožina X je kompaktní právě když je konečný. Zejména, X není místně kompaktní, protože neexistuje kompaktní sousedství 1.

• X není počítatelně kompaktní.^[1]
  Důkaz: Nekonečná množina ${ displaystyle {2 ^ {n}: n geq 1 }}$ má nulovou asymptotickou hustotu, a proto je uzavřen X. Každý z jeho bodů je izolovaný. Od té doby X obsahuje nekonečnou uzavřenou diskrétní podmnožinu, není kompaktní mezní bod, a proto není počítatelně kompaktní.

Poznámky

Reference

• Appert, Antoine (1934), Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux Skutečné. Sci. Ind., Hermann, PAN  3533016.
• Steen, L. A .; Seebach, J. A. (1995), Protiklady v topologii Dover, ISBN  0-486-68735-X.