Kritérium Andronov – Pontryagin - Andronov–Pontryagin criterion

The Kritérium Andronov – Pontryagin je nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro stabilitu dynamické systémy v letadle. To bylo odvozeno od Aleksandr Andronov a Lev Pontryagin v roce 1937.

Tvrzení

Dynamický systém

${ displaystyle { dot {x}} = v (x),}$

kde ${ displaystyle v}$ je ${ displaystyle C ^ {1}}$-vektorové pole na letadlo, ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {2}}$, je orbitálně topologicky stabilní pouze tehdy, pokud platí následující dvě podmínky:

1. Všechno rovnovážné body a periodické dráhy jsou hyperbolický.
2. Nejsou k dispozici žádné sedlová spojení.

Stejné prohlášení platí, pokud je vektorové pole ${ displaystyle v}$ je definován na jednotka disku a je příčný k hranici.

Vyjasnění

Orbitální topologická stabilita dynamického systému znamená, že pro každou dostatečně malou poruchu (v C¹-metrický), existuje a homeomorfismus v blízkosti mapy identity, která transformuje oběžné dráhy původního dynamického systému na oběžné dráhy narušeného systému (srov. strukturální stabilita ).

První podmínka věty je známá jako globální hyperbolicita. Nula vektorového pole proti, tj. bod X₀ kde proti(X₀) = 0, se říká, že je hyperbolický pokud žádný z vlastní čísla linearizace proti na X₀ je čistě imaginární. Periodická oběžná dráha toku je považována za hyperbolickou, pokud neexistuje vlastní čísla z Poincaré zpáteční mapa v bodě na oběžné dráze má absolutní hodnotu jedna.

Konečně, sedlové spojení označuje situaci, kdy oběžná dráha z jednoho sedlového bodu vstupuje do stejného nebo jiného sedlového bodu, tj. nestabilního a stabilního separatrices jsou spojeni (srov homoklinická dráha a heteroclinic orbit ).

Reference

• Andronov, Aleksandr A.; Lev S.Pontryagin (1937). „Грубые системы“ [Hrubé systémy]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 14 (5): 247–250.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Citováno v Kuzněcov (2004).
• Kuzněcov, Jurij A. (2004). Základy teorie aplikované bifurkace. Springer. ISBN  978-0-387-21906-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz). Viz věta 2.5.