Separatrix (matematika) - Separatrix (mathematics) - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Matematika „Separatrix“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a separatrix je hranice oddělující dva způsoby chování v a diferenciální rovnice.^[1]

Příklad

Zvažte diferenciální rovnici popisující pohyb jednoduchého kyvadlo:

${ displaystyle {d ^ {2} theta over dt ^ {2}} + {g over ell} sin theta = 0.}$

kde ${ displaystyle ell}$ označuje délku kyvadla, ${ displaystyle g}$ the gravitační zrychlení a ${ displaystyle theta}$ úhel mezi kyvadlem a svisle dolů. V tomto systému existuje konzervované množství H ( Hamiltonian ), který je dán

${ displaystyle H = { frac {{ dot { theta}} ^ {2}} {2}} - { frac {g} { ell}} cos theta.}$

S touto definicí lze vykreslit křivku konstanty H v fázový prostor systému. Fázový prostor je graf s ${ displaystyle theta}$ podél vodorovné osy a ${ displaystyle { dot { theta}}}$ na svislé ose - viz miniatura vpravo. Typ výsledné křivky závisí na hodnotě H.

Fázový prostor pro jednoduché kyvadlo

Li ${ displaystyle H <- { frac {g} { ell}}}$ pak žádná křivka neexistuje (protože ${ displaystyle { dot { theta}}}$ musí být imaginární ).

Li ${ displaystyle - { frac {g} { ell}}$ pak bude křivka jednoduše uzavřená křivka který je téměř kruhový pro malé H a stane se „očním“ tvarem, když se H přiblíží k horní hranici. Tyto křivky odpovídají kyvadlu pravidelně se houpajícímu ze strany na stranu.

Li ${ displaystyle { frac {g} { ell}}$ pak je křivka otevřená a to odpovídá kyvadlu, které se navždy houpalo v celých kruzích.

V tomto systému separatrix je křivka, která odpovídá ${ displaystyle H = { frac {g} { ell}}}$. Odděluje - odtud název - fázový prostor do dvou odlišných oblastí, z nichž každá má odlišný typ pohybu. Oblast uvnitř separatrixu má všechny ty křivky fázového prostoru, které odpovídají kyvadlu kmitajícímu tam a zpět, zatímco oblast mimo separatrix má všechny křivky fázového prostoru, které odpovídají kyvadlu, které se kontinuálně otáčí vertikálními rovinnými kruhy.

Reference

• Logan, J. David, Aplikovaná matematika, 3. vydání, 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, str. 65.

externí odkazy

• Separatrix z MathWorld.