Analyticky unramified prsten - Analytically unramified ring

V algebře, an analyticky unramified kruh je místní prsten jehož dokončení je snížena (nemá nenulovou hodnotu nilpotentní ).

Následující kruhy jsou analyticky unramified:

pseudo-geometrický snížený prsten.
vynikající snížený prsten.

Chevalley (1945) ukázal, že každý místní prsten algebraická rozmanitost je analyticky unramified.Schmidt (1936) uvedl příklad analyticky rozvětveného redukovaného lokálního kruhu. Krull (1930) ukázal, že každý 1-rozměrný normál Noetherian místní kruh je analyticky unramified; přesněji ukázal, že jednorozměrná normální netherianská místní doména je analyticky unramified, a to pouze tehdy, je-li její integrální uzavření konečným modulem. Tato výzva Zariski (1948) zeptat se, zda je místní noetherianská doména taková, že její integrální uzavření je konečným modulem, vždy analyticky unramified. nicméně Nagata (1955) dal příklad 2-dimenzionálního normálního analyticky rozvětveného nethererského místního kruhu. Nagata také ukázal, že mírně silnější verze Zariskiho otázky je správná: pokud normalizace každého konečného prodloužení daného nizozemského místního kruhu R je tedy konečný modul R je analyticky unramified.

Existují dvě klasické věty o David Rees (1961 ), které charakterizují analyticky neharmonizované kruhy. První říká, že noetherianský místní prsten (R, m) je analyticky unramified právě tehdy, pokud existují a m-primární ideál J a sekvence ${ displaystyle n_ {j} do infty}$ takhle ${ displaystyle { overline {J ^ {j}}} podmnožina J ^ {n_ {j}}}$ , kde lišta znamená integrální uzavření ideálu. Druhý říká, že noetherianská lokální doména je analyticky unramifikovaná právě tehdy, když pro každou definitivně vygenerovanou R-algebra S ležící mezi R a pole zlomků K. z R, integrální uzávěr z S v K. je konečně vygenerovaný modul S. Druhý vyplývá z prvního.

Nagatův příklad

Nechat K.₀ být dokonalým polem charakteristiky 2, jako např F₂.Nechat K. být K.₀({u_n, proti_n : n ≥ 0}), kde u_n a proti_n jsou neurčití. Pojďme T být podřetězcem formálního kruhu mocninných řad K. [[X,y]] generováno K. a K.² [[X,y]] a prvek ∑ (u_nXⁿ+ proti_nyⁿ). Nagata to dokazuje T je normální místní noetherian doména, jejíž dokončení má nenulové nilpotentní prvky, takže T je analyticky rozvětvený.

Reference

Chevalley, Claude (1945), "Křižovatky algebraických a algebroidních odrůd", Trans. Amer. Matematika. Soc., 57: 1–85, doi:10.1090 / s0002-9947-1945-0012458-1, JSTOR 1990167, PAN 0012458
Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integrální uzavření ideálů, prstenů a modulů, Série přednášek London Mathematical Society, 336, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, PAN 2266432
Nagata, Masayoshi (1955), "Příklad normálního lokálního kruhu, který je analyticky rozvětvený", Nagojská matematika. J., 9: 111–113, PAN 0073572
Rees, D. (1961), „Poznámka o analyticky neuzamčených místních kruzích“, J. London Math. Soc., 36: 24–28, PAN 0126465
Schmidt, Friedrich Karl (1936), „Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen“, Mathematische Zeitschrift, 41 (1): 443–450, doi:10.1007 / BF01180433
Zariski, Oscar (1948), „Analytická neredukovatelnost normálních odrůd“, Ann. matematiky., 2, 49: 352–361, doi:10.2307/1969284, PAN 0024158
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975) [1960], Komutativní algebra. Sv. II, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, PAN 0389876