Věta o analytické podskupině - Analytic subgroup theorem

V matematice je věta o analytické podskupině je významným výsledkem v moderní teorie transcendentních čísel. Lze to chápat jako zobecnění Bakerova věta na lineárních formách v logaritmech. Gisbert Wüstholz dokázal to v 80. letech.^[1]^[2] Znamenalo to průlom v teorii transcendentálních čísel. Mnoho dlouhodobých otevřených problémů lze odvodit jako přímé důsledky.

Tvrzení

Li ${ displaystyle G}$ je komutativní algebraická skupina definované přes algebraické číslo pole a ${ displaystyle A}$ je Lež podskupina z ${ displaystyle G}$ s Lež algebra definováno nad číselným polem ${ displaystyle A}$ neobsahuje žádný nenulový algebraický bod ${ displaystyle G}$ ledaže ${ displaystyle A}$ obsahuje vlastní algebraická podskupina.

Jednou z hlavních nových složek důkazu byla teorie odhadů multiplicity skupinových odrůd vyvinutá David Masser a Gisbert Wüstholz ve zvláštních případech a stanovený Wüstholzem v obecném případě, který byl nezbytný pro prokázání věty o analytické podskupině.

Důsledky

Jedním z pozoruhodných důsledků analytické věty o podskupině byla věta o isogenii publikovaná Masserem a Wüstholzem. Přímým důsledkem je Tate dohad pro abelianské odrůdy který Gerd Faltings se osvědčil se zcela odlišnými metodami, které mají mnoho aplikací v moderní aritmetické geometrii.

Pomocí odhadů multiplicity pro skupinové odrůdy se Wüstholzovi podařilo získat konečnou očekávanou formu pro dolní mez pro lineární formy v logaritmech. To bylo dáno do efektivní formy ve společné práci s ním Alan Baker který označuje současný stav techniky. Kromě odhadů multiplicity byla další novou ingrediencí velmi sofistikované použití geometrie čísel k získání velmi ostrých dolních mezí.

Viz také

Algebraická křivka

Citace

^ Wüstholz, Gisbert (1989). „Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen“ [Algebraické body na analytických podskupinách algebraických skupin]. Annals of Mathematics. Druhá série (v němčině). 129 (3): 501–517. doi:10.2307/1971515. PAN 0997311.
^ Wüstholz, Gisbert (1989). "Odhady multiplicity u skupinových odrůd". Annals of Mathematics. Druhá série. 129 (3): 471–500. doi:10.2307/1971514. PAN 0997310.

Reference

Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (1993), „Logaritmické formy a skupinové odrůdy“, J. Reine Angew. Matematika., 442: 19–62, doi:10.1515 / crll.1993.442.19, PAN 1234835
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmické formy a diofantická geometrie. Nové matematické monografie. 9. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2. PAN 2382891.
Masser, David; Wüstholz, Gisbert (1993), „Odhady isogeny pro abelianské odrůdy a věty o konečnosti“, Annals of Mathematics, Druhá série, 137 (3): 459–472, doi:10.2307/2946529, PAN 1217345

[1] Wüstholz, Gisbert (1989). „Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen“ [Algebraické body na analytických podskupinách algebraických skupin]. Annals of Mathematics. Druhá série (v němčině). 129 (3): 501–517. doi:10.2307/1971515. PAN 0997311.

[2] Wüstholz, Gisbert (1989). "Odhady multiplicity u skupinových odrůd". Annals of Mathematics. Druhá série. 129 (3): 471–500. doi:10.2307/1971514. PAN 0997310.

[1]

[2]