(2,1) - Pascalův trojúhelník - (2,1)-Pascal triangle

Řádky nula až pět trojúhelníků (2,1) -Pascal

v matematika, (2,1) - Pascalův trojúhelník (zrcadlené Lucasův trojúhelník^[1])je trojúhelníkové pole.

Řádky (2,1) -Pascalova trojúhelníku (sekvence A029653 v OEIS )^[2] jsou běžně vyjmenovány počínaje řádkem n = 0 nahoře (0. řádek). Položky v každém řádku jsou očíslovány zleva počínaje k = 0 a jsou obvykle rozloženy vzhledem k číslům v sousedních řádcích.

Trojúhelník je založen na Pascalův trojúhelník přičemž druhý řádek je (2,1) a první buňka každého řádku je nastavena na 2.

Tato konstrukce souvisí s binomickými koeficienty podle Pascalovo pravidlo, přičemž jeden z termínů je ${ displaystyle 2x + y}$.

${ displaystyle (2x + y) (x + y) ^ {n-1}}$

Vzory a vlastnosti

(2,1) -Pascalův trojúhelník má mnoho vlastností a obsahuje mnoho vzorů čísel. To může být viděno jako sestra Pascalův trojúhelník stejným způsobem jako a Lucasova sekvence je sesterskou sekvencí Fibonacciho sekvence.^{[Citace je zapotřebí ]}

Řádky

• Kromě řádku n = 0, 1, Součet prvků jednoho řádku je dvojnásobkem součtu řádku před ním. Například řádek 1 má hodnotu 3, řádek 2 má hodnotu 6, řádek 3 má hodnotu 12 atd. Je to proto, že každá položka v řádku produkuje dvě položky v dalším řádku: jednu levou a jednu pravou. Součet prvků řádkun je rovný ${ displaystyle 3 krát 2 ^ {n-1}}$.(sekvence A003945 v OEIS ) (sekvence.) A007283 v OEIS )
• Hodnota řádku, je-li každá položka považována za desetinné místo (a čísla větší než 9 přenesená odpovídajícím způsobem) je mocnina 11 vynásobená 21 (${ displaystyle 21 krát 11 ^ {n-1}}$, pro řádekn). V řádku 2 tedy ⟨2, 3, 1⟩ se stává ${ displaystyle 21 krát 11}$, zatímco ⟨2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ v řadě pět se stává (po provedení) 307461, což je ${ displaystyle 21 krát 11 ^ {4}}$. Tato vlastnost je vysvětlena nastavením X = 10 v binomické expanzi (2X + 1)(X + 1)ⁿ⁻¹a nastavení hodnot na desetinnou soustavu. Ale X lze zvolit, aby řádky mohly reprezentovat hodnoty v žádný základna.
  • v základna 3: ${ displaystyle 231_ {3} = 7 krát 4 (28)}$
  • ${ displaystyle (2,5,4,1) rightarrow 11011_ {3} = 7 krát 4 ^ {2} (112)}$
  • v základna 9: ${ displaystyle 231_ {9} = 19 krát 10 (190)}$
  •              ${ displaystyle 2541_ {9} = 19 krát 10 ^ {2} (1900)}$
  • ${ displaystyle (2,9,16,14,6,1) rightarrow 318561_ {9} = 19 krát 10 ^ {4} (190000)}$
• Polarita: Ještě další zajímavý vzor, ​​když se řádky Pascalova trojúhelníku postupně sčítají a odčítají, každý řádek se středním číslem, což znamená řádky, které mají lichý počet celých čísel, jsou vždy rovny 0. Příklad, řádek 4 je 2 7 9 5 1, takže vzorec by byl 9 − (7 + 5) + (2 + 1) = 0, řádek 6 je 2 11 25 30 20 7 1, takže vzorec by byl 30 − (25 + 20) + (11 + 7) − (2 + 1) = 0. Takže každý sudý řádek Pascalova trojúhelníku se rovná 0, když vezmete střední číslo, poté odečtěte celá čísla přímo vedle středu, poté přidejte další celá čísla, poté odečtěte atd., Dokud nedosáhnete konce řádku.
  • Nebo můžeme říci, že když vezmeme první člen řady, pak odečteme druhý člen, pak přidáme třetí člen, potom odečteme, atd., Dokud nedosáhneme konce řádku, výsledek se vždy rovná 0.
  • řádek 3: 2 - 3 + 1 = 0
  • řádek 4: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
  • řádek 5: 2 - 7 + 9 - 5 + 1 = 0
  • řádek 6: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
  • řádek 7: 2 - 11 + 25 - 30 + 20 - 7 + 1 = 0
  • řádek 8: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

Úhlopříčky

Úhlopříčky Pascalova trojúhelníku obsahují figurativní čísla jednoduchostí:

• Úhlopříčky podél pravých okrajů obsahují pouze 1, zatímco úhlopříčky podél pravých okrajů obsahují pouze 2 s kromě první buňky.
• Úhlopříčky vedle úhlopříčky levého okraje obsahují lichá čísla v pořádku.
• Úhlopříčky vedle úhlopříčky pravého okraje obsahují přirozená čísla v pořádku.
• Pohybující se dovnitř obsahuje další dvojice úhlopříček znak čtvercová čísla a trojúhelníková čísla minus 1 v pořádku.
• Další dvojice úhlopříček obsahuje Čtvercové pyramidové číslo v pořadí, a další pár dát 4-rozměrná pyramidová čísla (sekvence A002415 v OEIS ).

Celkové vzory a vlastnosti

Sierpinského trojúhelník

(2,1) -Pascalův trojúhelník překrytý mřížkou udává počet odlišných cest ke každému čtverci za předpokladu, že jsou brány v úvahu pouze pohyby doprava a dolů.

• Vzor získaný zbarvením pouze lichých čísel v Pascalově trojúhelníku se velmi podobá fraktální volal Sierpinského trojúhelník. Tato podobnost je čím dál přesnější, protože se uvažuje o více řádcích; v limitu výsledný vzor, ​​protože se počet řádků blíží nekonečnu je Sierpinského trojúhelník, za předpokladu pevného obvodu.^[3] Obecněji lze čísla barevně odlišit podle toho, zda se jedná o násobky 3, 4 atd .; výsledkem jsou další podobné vzorce.
• Představte si, že každé číslo v trojúhelníku je uzel v mřížce, který je spojen se sousedními čísly nad a pod ním. Nyní u libovolného uzlu v mřížce spočítejte počet cest v mřížce (bez zpětného sledování), které spojují tento uzel s horním uzlem (1) trojúhelníku. Odpovědí je číslo Pascalu spojené s daným uzlem.
• Jedna vlastnost trojúhelníku se odhalí, pokud jsou řádky zarovnány doleva. V níže uvedeném trojúhelníku se úhlopříčně zbarvené pruhy sčítají za sebou Fibonacciho čísla a Lucasova čísla.^[4]

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

								1
							2	1
						2	3	1
					2	5	4	1
				2	7	9	5	1
			2	9	16	14	6	1
		2	11	25	30	20	7	1
	2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

• Tato konstrukce souvisí také s rozšířením ${ displaystyle x ^ {n} + { frac {1} {x ^ {n}}}}$ , použitím ${ displaystyle y = x + { frac {1} {x}}}$.
• pak

${ displaystyle { begin {aligned} x ^ {0} + { frac {1} {x ^ {0}}} & = 2 [5pt] x ^ {1} + { frac {1} { x ^ {1}}} & = y [5pt] x ^ {2} + { frac {1} {x ^ {2}}} & = y ^ {2} -2 [5pt] x ^ {3} + { frac {1} {x ^ {3}}} & = y ^ {3} -3r [5pt] x ^ {4} + { frac {1} {x ^ {4 }}} & = y ^ {4} -4y ^ {2} +2 [5pt] x ^ {5} + { frac {1} {x ^ {5}}} & = y ^ {5} -5y ^ {3} + 5y end {zarovnáno}}}$

Reference