Nakajima – Zwanzigova rovnice - Nakajima–Zwanzig equation - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Nakajima – Zwanzigova rovnice (pojmenováno podle fyziků, kteří jej vyvinuli, Sadao Nakajima^[1] a Robert Zwanzig^[2]) je integrální rovnice popisující časový vývoj „relevantní“ části kvantově mechanické soustavy. Je formulován v matice hustoty formalizmus a lze jej považovat za zobecnění hlavní rovnice.

Rovnice patří do Mori – Zwanzigova teorie v rámci statistické mechaniky nevratných procesů (pojmenovaných po Hazime Mori ). Pomocí operátoru projekce je dynamika rozdělena na pomalou kolektivní část (příslušná část) a rychle kolísající irelevantní část. Cílem je vyvinout dynamické rovnice pro kolektivní část.

Derivace

Výchozí bod^{[poznámka 1]} je kvantová mechanika Liouvilleova rovnice (von Neumannova rovnice )

${ displaystyle částečné _ {t} rho = { frac {i} { hbar}} [ rho, H] = L rho,}$

kde operátor Liouville ${ displaystyle L}$ je definován jako ${ displaystyle LA = { frac {i} { hbar}} [A, H]}$.

The operátor hustoty (matice hustoty) ${ displaystyle rho}$ je rozdělena pomocí operátoru projekce${ displaystyle { mathcal {P}}}$na dvě části ${ displaystyle rho = left ({ mathcal {P}} + { mathcal {Q}} right) rho}$, kde ${ displaystyle { mathcal {Q}} ekviv 1 - { mathcal {P}}}$. Operátor projekce ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ projekty na výše uvedené relevantní část, pro kterou má být odvozena pohybová rovnice.

Liouville-von Neumannova rovnice tak může být reprezentována jako

${ displaystyle { částečné _ {t}} levé ({ začátek {matice} { mathcal {P}} { mathcal {Q}} konec {matice}} pravé) rho = left ({ begin {matrix} { mathcal {P}} { mathcal {Q}} end {matrix}} right) L left ({ begin {matrix} { mathcal { P}} { mathcal {Q}} end {matrix}} right) rho + left ({ begin {matrix} { mathcal {P}} { mathcal {Q} } end {matrix}} right) L left ({ begin {matrix} { mathcal {Q}} { mathcal {P}} end {matrix}} right) rho.}$

Druhý řádek je formálně řešen jako^{[poznámka 2]}

${ displaystyle { mathcal {Q}} rho = {{e} ^ {{ mathcal {Q}} Lt}} Q rho (t = 0) + int _ {0} ^ {t} dt ' {e} ^ {{ mathcal {Q}} Lt '} { mathcal {Q}} L { mathcal {P}} rho (t- {t}').}$

Zapojením řešení do první rovnice získáme Nakajima – Zwanzigovu rovnici:

${ displaystyle částečné _ {t} { mathcal {P}} rho = { mathcal {P}} L { mathcal {P}} rho + underbrace {{ mathcal {P}} L {{ e} ^ {{ mathcal {Q}} Lt}} Q rho (t = 0)} _ {= 0} + { mathcal {P}} L int _ {0} ^ {t} {dt ' {{e} ^ {{ mathcal {Q}} Lt '}} { mathcal {Q}} L { mathcal {P}} rho (t- {t}')}.}$

Za předpokladu, že nehomogenní výraz zmizí^{[Poznámka 3]} a pomocí

${ displaystyle { mathcal {K}} vlevo (t vpravo) equiv { mathcal {P}} L {{e} ^ {{ mathcal {Q}} Lt}} { mathcal {Q}} L { mathcal {P}},}$

${ displaystyle { mathcal {P}} rho equiv {{ rho} _ { mathrm {rel}}},}$ stejně jako

${ displaystyle { mathcal {P}} ^ {2} = { mathcal {P}},}$

získáme konečnou podobu

${ displaystyle částečné _ {t} { rho} _ { mathrm {rel}} = { mathcal {P}} L {{ rho} _ { mathrm {rel}}} + int _ {0 } ^ {t} {dt '{ mathcal {K}} ({t}') {{ rho} _ { mathrm {rel}}} (t- {t} ')}.}$

Viz také

• Redfieldova rovnice

Poznámky

Reference

• E. Fick, G. Sauermann: Kvantová statistika dynamických procesů Springer-Verlag, 1983, ISBN  3-540-50824-4.
• Heinz-Peter Breuer, Francesco Petruccione: Teorie otevřených kvantových systémů. Oxford, 2002 ISBN  9780198520634
• Hermann Grabert Techniky operátoru projekce v nerovnovážné statistické mechaniceSpringer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982
• R. Kühne, P. Reineker: Nakajima-Zwanzigova zobecněná hlavní rovnice: Vyhodnocení jádra integro-diferenciální rovnice, Zeitschrift für Physik B (Condensed Matter), pásmo 31, 1978, S. 105–110, doi:10.1007 / BF01320131

externí odkazy

• „Nakajima-Zwanzig-Gleichung“. PhysikWiki (v němčině). Citováno 20. prosince 2018.