Zariski geometrie - Zariski geometry

v matematika, a Zariski geometrie se skládá z abstraktní struktury zavedené Ehud Hrushovski a Boris Zilber, aby bylo možné charakterizovat Zariski topologie na algebraická křivka a všechny jeho pravomoci. Zariskiho topologie na produktu algebraické odrůdy je velmi zřídka topologie produktu, ale bohatší o uzavřené množiny definované rovnicemi, které kombinují dvě sady proměnných. Popsaný výsledek dává velmi definitivní význam projektivní křivky a kompaktní Riemannovy povrchy zejména.

Definice

A Zariski geometrie sestává ze sady X a a topologická struktura na každé ze sad

X, X2, X3, …

splňující určité axiomy.

(N) Každý z Xn je Noetherian topologický prostor maximálně dimenze n.

Nyní se předpokládá určitá standardní terminologie pro noetherianské prostory.

(A) V každém Xn, podmnožiny definované rovností v n-n-tice jsou zavřené. Mapování

Xm → Xn

definované promítáním určitých souřadnic a nastavením ostatních jako konstant jsou všechny spojité.

(B) Pro projekci

p: Xm → Xn

a neredukovatelné uzavřená podmnožina Y z Xm, p(Y) leží mezi jeho uzavřením Z a Z \ ZKde Z′ Je správná uzavřená podmnožina Z. (Tohle je eliminace kvantifikátoru, na abstraktní úrovni.)

(C) X je neredukovatelný.

(D) Jednotka je vázána na počet prvků vlákna v projekci libovolného uzavřeného souboru Xm, kromě případů, kdy vlákno je X.

(E) Uzavřená neredukovatelná podmnožina Xm, dimenze r, když se protíná s diagonální podmnožinou, ve které s souřadnice jsou nastaveny stejně, má alespoň všechny komponenty kóty r − s + 1.

Je vyvolána další požadovaná podmínka velmi bohatý (srov. velmi rozsáhlý svazek řádků ). Předpokládá se, že existuje neredukovatelná uzavřená podmnožina P některých Xma neredukovatelná uzavřená podmnožina Q z P× X² s následujícími vlastnostmi:

(I) Dané páry (X, y), (X′, y') v X², pro některé t v P, sada (t, u, proti) v Q zahrnuje (t, X, y) ale ne (t, X′, y′)

(J) Pro t mimo řádnou uzavřenou podmnožinu P, sada (X, y) v X², (t, X, y) v Q je neredukovatelná uzavřená množina dimenze 1.

(K) Pro všechny páry (X, y), (X′, y') v X², vybrané zvenčí správné uzavřené podmnožiny, některé jsou t v P takový, že množina (t, u, proti) v Q zahrnuje (t, X, y) a (t, X′, y′).

Geometricky to říká, že existuje dostatek křivek k oddělení bodů (I) a k propojení bodů (K); a že takové křivky lze převzít z jediné parametrická rodina.

Poté Hrushovski a Zilber dokazují, že za těchto podmínek existuje algebraicky uzavřené pole K.a ne singulární algebraická křivka C, tak, že jeho Zariski geometrie sil a jejich Zariski topologie je isomorfní s daným. Stručně řečeno, geometrii lze algebraizovat.

Reference

  • Hrushovski, Ehud; Zilber, Boris (1996). „Zariski Geometries“ (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 9 (01): 1–56. doi:10.1090 / S0894-0347-96-00180-4.