Johnsova rovnice - Johns equation - Wikipedia

Johnova rovnice je ultrahyperbolická parciální diferenciální rovnice spokojen Rentgenová transformace funkce. Je pojmenován po Fritz John.

Vzhledem k funkci ${ displaystyle f colon mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ s kompaktní podporou Rentgenová transformace je integrál ve všech řádcích v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Parametrizujeme čáry dvojicemi bodů ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {n}}$, ${ displaystyle x neq y}$ na každém řádku a definovat ${ displaystyle u}$ jako paprsková transformace kde

${ displaystyle u (x, y) = int limity _ {- infty} ^ { infty} f (x + t (y-x)) dt.}$

Takové funkce ${ displaystyle u}$ jsou charakterizovány Johnovými rovnicemi

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ {i} částečné y_ {j}}} - { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y_ {i} částečné x_ {j}}} = 0}$

což dokazuje Fritz John pro dimenzi tři a další Kurusa pro vyšší rozměry.

V trojrozměrném rentgenovém záření počítačová tomografie Johnovu rovnici lze vyřešit tak, že vyplníme chybějící data, například tam, kde jsou data získávána z bodového zdroje procházejícího křivkou, obvykle šroubovice.

Obecněji an ultrahyperbolický parciální diferenciální rovnice (termín vytvořený pomocí Richard Courant ) je parciální diferenciální rovnice druhého řádu tvaru

${ displaystyle sum limity _ {i, j = 1} ^ {2n} a_ {ij} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} + sum limity _ {i = 1} ^ {2n} b_ {i} { frac { částečné u} { částečné x_ {i}}} + cu = 0}$

kde ${ displaystyle n geq 2}$, tak, že kvadratická forma

${ displaystyle sum limity _ {i, j = 1} ^ {2n} a_ {ij} xi _ {i} xi _ {j}}$

lze snížit lineární změnou proměnných do formy

${ displaystyle sum limity _ {i = 1} ^ {n} xi _ {i} ^ {2} - sum limity _ {i = n + 1} ^ {2n} xi _ {i} ^ {2}.}$

Na necharakteristickém nadpovrchu není možné libovolně specifikovat hodnotu řešení. Johnův článek však uvádí příklady variet, na nichž je libovolná specifikace u lze rozšířit na řešení.

Reference

• John, Fritz (1938), „Ultrahyperbolická diferenciální rovnice se čtyřmi nezávislými proměnnými“, Duke Mathematical Journal, 4 (2): 300–322, doi:10.1215 / S0012-7094-38-00423-5, ISSN  0012-7094, PAN  1546052, Zbl  0019.02404
• A. Kurusa, Charakterizace rozsahu radonové transformace systémem PDE, J. Math. Anální. Appl., 161 (1991), 218-226. doi:10.1016 / 0022-247X (91) 90371-6
• S K Patch, Podmínky konzistence na 3D CT datech a vlnové rovnici, Phys. Med. Biol. 47 No 15 (7. srpna 2002) 2637-2650 doi:10.1088/0031-9155/47/15/306