Whitney topologie - Whitney topologies
V matematice, a zejména diferenciální topologie, funkční analýza a teorie singularity, Whitney topologie plocha počítatelně nekonečný rodina topologie definované na množině hladké mapování mezi dvěma hladké potrubí. Jsou pojmenovány po americkém matematikovi Hassler Whitney.
Konstrukce
Nechat M a N být dvě skutečná, hladká potrubí. Kromě toho C∞ (M,N) označuje prostor hladkých mapování mezi M a N. Zápis C∞ znamená, že mapování je nekonečně diferencovatelné, tj. částečné derivace všech objednávek existuje a je kontinuální.[1]
Whitney C.k-topologie
Pro některé celé číslo k ≥ 0, ať Jk(M,N) označují k-jetový prostor mapování mezi M a N. Tryskový prostor může být vybaven hladkou strukturou (tj. Strukturou jako C∞ potrubí), které z něj dělají topologický prostor. Tato topologie se používá k definování topologie na C∞(M,N).
Pro pevné celé číslo k ≥ 0 zvažte otevřenou podmnožinu U ⊂ Jk(M,N), a označit Sk(U) následující:
Sady Sk(U) tvoří a základ pro Whitney C.k-topologie na C.∞(M,N).[2]
Whitney C.∞-topologie
Pro každou volbu k ≥ 0, Whitney C.k-topologie dává topologii pro C∞(M,N); jinými slovy Whitney C.k-topologie nám říká, které podskupiny C∞(M,N) jsou otevřené sady. Označme Wk množina otevřených podmnožin C∞(M,N) s ohledem na Whitney C.k-topologie. Pak Whitney C.∞-topologie je definována jako topologie, jejíž základ darováno Ž, kde:[2]
Rozměrnost
Všimněte si, že C∞(M,N) má nekonečný rozměr, zatímco Jk(M,N) má konečný rozměr. Ve skutečnosti J.k(M,N) je skutečný, konečný-dimenzionální potrubí. Chcete-li to vidět, nechte ℝk[X1,…,Xm] označit prostor polynomy, se skutečnými koeficienty, v m proměnné řádu maximálně k a s nulou jako konstantním členem. To je skutečné vektorový prostor s rozměrem
Psaní A = dim {ℝk[X1,…,Xm]} pak standardní teorií vektorových prostorů ℝk[X1,…,Xm] ≅ ℝA, a také je skutečný, konečný-dimenzionální potrubí. Dále definujte:
Použitím b k označení dimenze Bkm,n, vidíme to Bkm,n ≅ ℝb, a také je skutečný, konečný-dimenzionální potrubí.
Ve skutečnosti, pokud M a N mít rozměr m a n respektive pak:[3]
Topologie
Zvažte surjektivní mapování z prostoru hladkých map mezi hladkými potrubími a k-jetový prostor:
Ve Whitney C.k-topologie otevřené sady v C∞(M,N) jsou, podle definice, preimages otevřených množin v Jk(M,N). Z toho vyplývá, že mapa πk mezi C.∞(M,N) vzhledem k Whitney C.k-topologie a Jk(M,N) vzhledem k tomu, že euklidovská topologie je kontinuální.
Vzhledem k Whitney C.∞-topologie, prostor C∞(M,N) je Baireův prostor, tj. každý zbytková sada je hustý.[4]
Reference
- ^ Golubitsky, M.; Guillemin, V. (1974), Stabilní mapování a jejich singularity, Springer, str. 1, ISBN 0-387-90072-1
- ^ A b Golubitsky & Guillemin (1974), str. 42.
- ^ Golubitsky & Guillemin (1974), str. 40.
- ^ Golubitsky & Guillemin (1974), str. 44.