Whiteheads lemma (Lie algebra) - Whiteheads lemma (Lie algebra) - Wikipedia

v homologická algebra, Whiteheadova lemata (pojmenoval podle J. H. C. Whitehead ) představují řadu prohlášení týkajících se teorie reprezentace konečně-dimenzionální, napůl jednoduché Lie algebry v charakteristické nule. Historicky jsou považovány za vedoucí k objevu Cohomologie lže algebry.^[1]

Jeden obvykle rozlišuje mezi Whiteheadovo první a druhé lemma pro odpovídající výroky o kohomologii prvního a druhého řádu, ale existují podobné výroky týkající se cohomologie Lie algebry v libovolných řádech, které se také připisují Whiteheadovi.

První lemma Whitehead je důležitým krokem k důkazu Weylova věta o úplné redukovatelnosti.

Prohlášení

Bez zmínky o kohomologických skupinách lze uvést Whiteheadovo první lemma následovně: Let ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být konečně trojrozměrná, polojednoduchá Lieova algebra nad polem charakteristické nuly, PROTI konečně-dimenzionální modul nad tím a ${ displaystyle f colon { mathfrak {g}} do V}$ lineární mapu takovou

${ displaystyle f ([x, y]) = xf (y) -yf (x)}$.

Pak existuje vektor ${ displaystyle v ve V}$ takhle ${ displaystyle f (x) = xv}$ pro všechny ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$.Ve smyslu Cohomologie lže algebry, je to podle definice ekvivalentní skutečnosti ${ displaystyle H ^ {1} ({ mathfrak {g}}, V) = 0}$ za každé takové zastoupení. Důkaz používá a Kazimír prvek (viz důkaz níže).^[2]

Obdobně Whiteheadovo druhé lemma uvádí, že za podmínek prvního lemmatu také ${ displaystyle H ^ {2} ({ mathfrak {g}}, V) = 0}$.

Další související výrok, který se také připisuje Whiteheadovi, popisuje cohomologii Lie algebry v libovolném pořadí: Vzhledem ke stejným podmínkám jako v předchozích dvou výrokech, ale dále ${ displaystyle V}$ být neredukovatelné pod ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-akce a nechte ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jednat netriviálně, tak ${ displaystyle { mathfrak {g}} cdot V neq 0}$. Pak ${ displaystyle H ^ {q} ({ mathfrak {g}}, V) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle q geq 0}$.^[3]

Důkaz^[4]

Jak je uvedeno výše, pojďme ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být konečně-dimenzionální polojednoduchou Lieovou algebrou nad polem charakteristické nuly a ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} do { mathfrak {gl}} (V)}$ konečně-dimenzionální reprezentace (což je polojediné, ale důkaz tuto skutečnost nepoužívá).

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {ker} ( pi) oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ kde ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ je ideál ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Pak od té doby ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ je polojednodušší, stopová forma ${ displaystyle (x, y) mapsto operatorname {tr} ( pi (x) pi (y))}$ve vztahu k ${ displaystyle pi}$, je nondegenerate na ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$. Nechat ${ displaystyle e_ {i}}$ být základem ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ a ${ displaystyle e ^ {i}}$ dvojí základ s ohledem na tuto stopovou formu. Poté definujte Kazimír prvek ${ displaystyle c}$ podle

${ displaystyle c = součet _ {i} e_ {i} e ^ {i},}$

což je prvek univerzální obklopující algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$. Přes ${ displaystyle pi}$, jedná na PROTI jako lineární endomorfismus (jmenovitě ${ displaystyle pi (c) = součet _ {i} pi (e_ {i}) circ pi (e ^ {i}): V až V}$.) Klíčovou vlastností je, že dojíždí ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$ v tom smyslu ${ displaystyle pi (x) pi (c) = pi (c) pi (x)}$ pro každý prvek ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$. Taky, ${ displaystyle operatorname {tr} ( pi (c)) = součet operatorname {tr} ( pi (e_ {i}) pi (e ^ {i})) = dim { mathfrak {g }} _ {1}.}$

Nyní Kování lemma, máme vektorový prostorový rozklad ${ displaystyle V = V_ {0} oplus V_ {1}}$ takhle ${ displaystyle pi (c): V_ {i} až V_ {i}}$ je (dobře definované) nilpotentní endomorfismus pro ${ displaystyle i = 0}$ a je pro ně automatorfismem ${ displaystyle i = 1}$. Od té doby ${ displaystyle pi (c)}$ dojíždí s ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$, každý ${ displaystyle V_ {i}}$ je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-podmodul. Proto stačí lemma prokázat samostatně pro ${ displaystyle V = V_ {0}}$ a ${ displaystyle V = V_ {1}}$.

Nejprve předpokládejme ${ displaystyle pi (c)}$ je nilpotentní endomorfismus. Potom časným pozorováním ${ displaystyle dim ({ mathfrak {g}} / operatorname {ker} ( pi)) = operatorname {tr} ( pi (c)) = 0}$; to je ${ displaystyle pi}$ je triviální reprezentace. Od té doby ${ displaystyle { mathfrak {g}} = [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}}$, podmínka na ${ displaystyle f}$ to naznačuje ${ displaystyle f (x) = 0}$ pro každého ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$; tj. nulový vektor ${ displaystyle v = 0}$ splňuje požadavek.

Zadruhé, předpokládejme ${ displaystyle pi (c)}$ je automorfismus. Pro zjednodušení notace upustíme ${ displaystyle pi}$ a piš ${ displaystyle xv = pi (x) v}$. Také nechte ${ displaystyle ( cdot, cdot)}$ označte dříve použitou stopovou formu. Nechat ${ displaystyle w = součet e_ {i} f (e ^ {i})}$, což je vektor v ${ displaystyle V}$. Pak

${ displaystyle xw = sum _ {i} e_ {i} xf (e ^ {i}) + sum _ {i} [x, e_ {i}] f (e ^ {i}).}$

Nyní,

${ displaystyle [x, e_ {i}] = součet _ {j} ([x, e_ {i}], e ^ {j}) e_ {j} = - součet _ {j} ([x, e ^ {j}], e_ {i}) e_ {j}}$

a od té doby ${ displaystyle [x, e ^ {j}] = součet _ {i} ([x, e ^ {j}], e_ {i}) e ^ {i}}$, druhý termín expanze ${ displaystyle xw}$ je

${ displaystyle - součet _ {j} e_ {j} f ([x, e ^ {j}]) = - součet _ {i} e_ {i} (xf (e ^ {i}) - e ^ {i} f (x)).}$

Tím pádem,

${ displaystyle xw = sum _ {i} e_ {i} e ^ {i} f (x) = srov (x).}$

Od té doby ${ displaystyle c}$ je invertibilní a ${ displaystyle c ^ {- 1}}$ dojíždí s ${ displaystyle x}$, vektor ${ displaystyle v = c ^ {- 1} w}$ má požadovanou vlastnost. ${ displaystyle square}$

Poznámky

Reference

• Jacobson, Nathan, Lež algebry, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN  0-486-63832-4