Funkce Weingarten - Weingarten function

V matematice Weingarten funkce jsou racionální funkce indexováno podle oddíly celých čísel které lze použít k výpočtu integrálů součinů maticových koeficientů nad klasické skupiny. Nejprve je studoval Weingarten (1978) kteří našli své asymptotické chování a pojmenovali Collins (2003), který je výslovně vyhodnotil pro jednotná skupina.

Unitární skupiny

Funkce Weingarten se používají k hodnocení integrálů přes jednotná skupina U_d součinů maticových koeficientů formy

${displaystyle int _ {U_ {d}} U_ {i_ {1} j_ {1}} cdots U_ {i_ {q} j_ {q}} U_ {j_ {1} ^ {prime} i_ {1} ^ {prime }} ^ {*} cdots U_ {j_ {q} ^ {prime} i_ {q} ^ {prime}} ^ {*} dU.}$

(Tady ${displaystyle U ^ {*}}$ označuje transpozici konjugátu ${displaystyle U}$, alternativně označovaný jako ${displaystyle U ^ {dagger}}$.)

Tento integrál se rovná

${displaystyle sum _ {sigma, au in S_ {q}} delta _ {i_ {1} i_ {sigma (1)} ^ {prime}} cdots delta _ {i_ {q} i_ {sigma (q)} ^ { prime}} delta _ {j_ {1} j_ {au (1)} ^ {prime}} cdots delta _ {j_ {q} j_ {au (q)} ^ {prime}} W! g (sigma au ^ { -1}, d)}$

kde Wg je funkce Weingarten, daná

${displaystyle W! g (sigma, d) = {frac {1} {q! ^ {2}}} součet _ {lambda} {frac {chi ^ {lambda} (1) ^ {2} chi ^ {lambda} (sigma)} {s_ {lambda, d} (1)}}}$

kde součet přesahuje všechny oddíly λ z q (Collins 2003 ). Tady χ^λ je postava S_q odpovídající oddílu λ a s je Schurův polynom λ, takže s_λd(1) je dimenze reprezentace U_d odpovídající λ.

Funkce Weingarten jsou racionální funkce v d. Mohou mít póly pro malé hodnoty d, které se ruší ve výše uvedeném vzorci. Existuje alternativní nerovnoměrná definice funkcí Weingarten, kde je možné sčítat pouze nanejvýš oddíly d části. Toto již není racionální funkcí d, ale je konečný pro všechna kladná celá čísla d. Oba druhy Weingartenových funkcí se shodují d větší než q, a buď lze použít ve vzorci pro integrál.

Příklady

Prvních několik funkcí Weingarten Wg(σ, d) jsou

${displaystyle displaystyle W! g (, d) = 1}$ (Triviální případ, kdyq = 0)

${displaystyle displaystyle W! g (1, d) = {frac {1} {d}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (2, d) = {frac {-1} {d (d ^ {2} -1)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (1 ^ {2}, d) = {frac {1} {d ^ {2} -1}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (3, d) = {frac {2} {d (d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (21, d) = {frac {-1} {(d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

${displaystyle displaystyle W! g (1 ^ {3}, d) = {frac {d ^ {2} -2} {d (d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

kde permutace σ jsou označeny jejich cyklickými tvary.

K produkci těchto výrazů existují programy počítačové algebry.^[1][2]

Asymptotické chování

Pro velké d, funkce Weingarten Wg má asymptotické chování

${displaystyle W! g (sigma, d) = d ^ {- n- | sigma |} prod _ {i} (- 1) ^ {| C_ {i} | -1} c_ {| C_ {i} | - 1} + O (d ^ {- n- | sigma | -2})}$

kde permutace σ je produktem cyklů délek C_i, a C_n = (2n)!/n!(n + 1)! je Katalánské číslo a | σ | je nejmenší počet transpozic, ze kterých je σ produkt. Existuje schematická metoda^[3] systematicky vypočítat integrály přes unitární skupinu jako výkonovou řadu v 1 / d.

Ortogonální a symplektické skupiny

Pro ortogonální a symplektické skupiny funkce Weingarten byly hodnoceny pomocí Collins & Śniady (2006). Jejich teorie je obdobou případu unitární skupiny. Jsou parametrizovány oddíly tak, že všechny části mají sudou velikost.

externí odkazy

• Collins, Benoît (2003), „Momenty a kumulanty polynomiálních náhodných proměnných na unitárních skupinách, Itzykson-Zuberův integrál a volná pravděpodobnost“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2003 (17): 953–982, arXiv:math-ph / 0205010, doi:10.1155 / S107379280320917X, PAN  1959915
• Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), „Integrace s ohledem na Haarovo opatření na unitární, ortogonální a symplektickou skupinu“, Komunikace v matematické fyzice, 264 (3): 773–795, arXiv:math-ph / 0402073, Bibcode:2006CMaPh.264..773C, doi:10.1007 / s00220-006-1554-3, PAN  2217291
• Weingarten, Don (1978), „Asymptotické chování skupinových integrálů na hranici nekonečné řady“, Journal of Mathematical Physics, 19 (5): 999–1001, Bibcode:1978JMP .... 19..999W, doi:10.1063/1.523807, PAN  0471696

Reference