Slabý rozměr - Weak dimension

v abstraktní algebra, slabá dimenze nenulové hodnoty pravý modul M přes prsten R je největší číslo n takové, že Tor skupina ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$ je nenulová pro některé vlevo R-modul N (nebo nekonečno, pokud žádný největší takový n existuje) a slabá dimenze levice R-module je definován podobně. Slabá dimenze byla zavedena Henri Cartan a Samuel Eilenberg  (1956, s. 122). Slabá dimenze se někdy nazývá plochý rozměr protože je to nejkratší délka a rozlišení modulu od ploché moduly. Slabá dimenze modulu se maximálně rovná jeho projektivní rozměr.

The slabá globální dimenze prstenu je největší číslo n takhle ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$ je nenulová pro některé právo R-modul M a vlevo R-modul N. Pokud takové největší číslo neexistuje n, slabá globální dimenze je definována jako nekonečná. Je nanejvýš rovný doleva nebo doprava globální dimenze prstenu R.

Příklady

• Modul ${ displaystyle mathbb {Q}}$ z racionální čísla přes prsten ${ displaystyle mathbb {Z}}$ celých čísel má slabou dimenzi 0, ale projektivní dimenzi 1.
• Modul ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ přes prsten ${ displaystyle mathbb {Z}}$ má slabou dimenzi 1, ale injektivní dimenzi 0.
• Modul ${ displaystyle mathbb {Z}}$ přes prsten ${ displaystyle mathbb {Z}}$ má slabou dimenzi 0, ale injektivní dimenzi 1.
• A Prüferova doména má slabý globální rozměr maximálně 1.
• A Von Neumann pravidelný prsten má slabou globální dimenzi 0.
• Produkt nekonečně mnoha polí má slabou globální dimenzi 0, ale její globální dimenze je nenulová.
• Pokud je prsten pravý Noetherian, pak je správná globální dimenze stejná jako slabá globální dimenze a je nanejvýš levou globální dimenzí. Zejména pokud je prsten pravý a levý Noetherian, pak jsou levá a pravá globální dimenze a slabá globální dimenze všechny stejné.
• The trojúhelníkový maticový kruh ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbb {Z} & mathbb {Q} 0 & mathbb {Q} end {bmatrix}}}$ má pravou globální dimenzi 1, slabou globální dimenzi 1, ale levou globální dimenzi 2. Je pravou noetherianskou, ale ne levou noetherskou.

Reference

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homologická algebra, Princeton Mathematical Series, 19, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04991-5, PAN  0077480
• Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Rozměry prstencové teorie, Matematika a její aplikace, 36, D. Reidel Publishing Co., doi:10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN  9789027724618, PAN  0894033