Zadržování vody na matematických površích - Water retention on mathematical surfaces

Ilustrace zadržování vody na povrchu.

Zadržování vody na matematických površích je zachycování vody v rybnících na povrchu buněk různých výšek na pravidelném poli, jako je čtvercová mříž, kde voda prší na každou buňku v systému. Hranice systému jsou otevřené a umožňují odtékání vody. Voda bude zachycena v rybnících a nakonec se všechny rybníky naplní do své maximální výšky, přičemž jakákoli další voda bude proudit přes přelivy a za hranice systému. Problém je najít množství vody zachycené nebo zadržené pro daný povrch. Toto bylo rozsáhle studováno pro dva matematické povrchy: magické čtverce a náhodné povrchy. Model lze také použít na trojúhelníkovou mřížku.^[1]

Kouzelné čtverce

Kouzelný čtverec 5 × 5 s maximální retencí.

Kouzelné čtverce byly studovány více než 2000 let. V roce 2007 byla navržena myšlenka studia zadržování vody na magickém čtverci.^[2] V roce 2010 proběhla soutěž na programovacích soutěžích Al Zimmermanna^[3] vytvořila v současnosti známé maximální retenční hodnoty pro magické čtverce v pořadí 4 až 28.^[4] Zde najdete výpočetní nástroje používané k prozkoumání a ilustraci tohoto problému.^[5]^[6]^[7]^[8]

Existuje 4 211 744 různých retenčních vzorů pro čtverec 7 × 7. K dosažení maximální retence je nejlepší kombinace jezera a rybníků. Žádné známé vzory pro maximální retenci nemají ostrov v rybníku nebo jezeře.^[2]

136 zadržovacích jednotek
1	34	36	32	31	39	2
25	20	5	15	14	49	47
24	12	45	28	16	13	37
38	9	27	40	29	11	21
41	8	17	23	46	18	22
43	48	10	7	6	19	42
3	44	35	30	33	26	4

	ostrov			přeliv

365 zadržovacích jednotek
5	33	44	39	34	18	2
20	49	8	15	11	48	24
37	14	23	29	30	6	36
43	12	22	17	26	10	45
38	1	27	21	32	16	40
28	47	9	13	7	46	25
4	19	42	41	35	31	3

	jezero

405 zadržovacích jednotek
4	25	46	19	31	32	18
27	44	16	45	12	2	29
47	10	14	6	48	20	30
21	43	1	42	5	41	22
33	11	49	3	24	15	40
34	7	13	37	17	39	28
9	35	36	23	38	26	8

	rybník

417 zadržovacích jednotek
13	30	22	41	39	20	10
31	15	48	7	4	45	25
27	44	17	18	21	8	40
23	42	5	29	9	43	24
34	1	47	6	49	2	36
35	11	3	46	16	38	26
12	32	33	28	37	19	14


	nejlepší pro maximální retenci

Níže jsou zobrazeny magické čtverce s maximální retencí pro objednávky 7-9:^[4]

418 zadržovacích jednotek
2	22	38	40	39	19	15
29	45	13	12	4	44	28
42	17	20	21	26	8	41
25	46	10	18	6	43	27
32	3	49	7	48	1	35
31	9	11	47	16	37	24
14	33	34	30	36	23	5
Hermann Jurksch 6. dubna 2010

797 zadržovacích jednotek
1	26	41	39	50	47	40	16
36	43	21	61	9	7	51	32
42	6	62	15	57	25	5	48
29	58	14	23	27	56	4	49
52	13	20	33	22	18	64	38
53	17	35	24	8	60	19	44
37	63	12	11	59	2	46	30
10	34	55	54	28	45	31	3
Hermann Jurksch 5. dubna 2010

1,408 zadržovacích jednotek
1	37	57	47	66	50	53	55	3
43	59	11	77	25	75	10	15	54
58	7	78	21	34	22	81	12	56
45	73	14	23	32	30	27	74	51
69	17	39	28	52	36	35	26	67
44	72	18	38	42	13	20	76	46
64	6	80	16	31	24	79	8	61
40	65	9	70	19	71	4	62	29
5	33	63	49	68	48	60	41	2
Walter Trump 12. června 2010

Níže uvedené obrázky ukazují magický čtverec 10x10. Je možné podívat se na výše uvedené vzory a předpovědět, jaký bude vzorec pro maximální zadržení čtverce 10x10? Nebyla vyvinuta žádná teorie, která by dokázala předpovědět správnou kombinaci jezera a rybníků pro všechny objednávky, nicméně platí některé principy. První barevně kódovaná čísla ukazují konstrukční princip toho, jak je kolem jezera a rybníků rozmístěno největší možné množství. Druhá a třetí figurka ukazují slibné vzorce, které byly vyzkoušeny, ale nedosáhly maximální retence.^[2]

2267 zadržovacích jednotek
1	41	79	58	75	63	64	68	52	4
47	80	5	81	8	90	87	6	76	25
78	7	35	23	97	44	36	100	13	72
60	82	19	91	39	29	27	14	93	51
73	21	98	32	40	48	33	59	16	85
65	89	46	26	50	62	34	30	20	83
56	88	43	28	31	37	22	42	92	66
70	11	99	17	55	38	45	94	9	67
53	71	12	95	24	10	96	18	77	49'
2	15	69	54	86	84	61	74	57	3
barevný klíč:
	>		>		>		>

2251 zadržovacích jednotek
1	50	66	46	86	54	77	74	48	3
53	68	17	97	32	91	25	4	78	40
67	13	98	28	35	24	96	52	16	76
58	93	15	41	36	21	51	92	23	75
85	30	29	34	45	64	37	26	99	56
55	95	10	31	63	44	22	89	14	82
71	20	90	60	33	27	100	7	18	79
70	6	59	88	19	87	8	38	83	47
43	73	72	11	94	12	9	84	65	42
2	57	49	69	62	81	80	39	61	5

2228 zadržovacích jednotek
1	45	79	53	87	83	55	72	27	3
51	80	20	95	11	40	89	14	74	31
78	19	90	42	15	56	33	94	5	73
48	97	30	9	64	26	36	43	91	41
85	28	54	22	68	57	61	23	25	82
86	13	39	62	21	52	46	60	38	88
66	99	10	49	59	32	12	24	96	58
70	9	98	6	34	67	17	92	37	75
18	71	16	100	65	8	93	7	77	50
2	44	69	47	81	84	63	76	35	4

Několik objednávek má více než jeden vzor pro maximální uchování. Obrázek níže ukazuje dva vzory magického čtverce 11x11 se zřejmou maximální retencí 3 492 jednotek:^[4]

Vzor č. 1
1	55	81	69	103	47	83	64	99	67	2
59	89	13	106	17	111	18	102	8	100	48
82	14	119	36	45	53	117	19	76	12	98
73	107	31	43	46	23	37	112	30	101	68
104	20	56	61	54	60	52	38	121	21	84
105	27	25	50	80	70	66	16	49	108	75
74	109	35	39	78	58	41	22	120	5	90
86	10	115	57	34	28	40	114	26	96	65
77	91	33	116	29	32	118	24	42	15	94
6	87	92	9	113	110	11	97	7	95	44
4	62	71	85	72	79	88	63	93	51	3

Vzor č. 2
1	36	97	69	86	74	64	89	90	62	3
68	99	10	101	8	108	109	12	11	92	53
98	5	31	15	118	28	58	116	61	91	50
77	100	21	113	22	29	35	66	117	9	82
87	6	121	32	51	41	72	39	38	114	70
79	105	46	33	52	71	60	47	49	25	104
75	106	54	23	81	55	56	45	48	26	102
88	7	120	67	42	40	63	43	34	110	57
76	96	59	107	27	30	37	24	119	13	83
18	95	19	17	111	115	14	112	20	85	65
4	16	93	94	73	80	103	78	84	44	2

The nejdokonalejší kouzelné čtverce vyžadují, aby všechny (n-1) ^ 2 nebo v tomto případě všech 121 2x2 rovinných podmnožin měly stejný součet. (několik příkladů označených žlutým pozadím, červeným písmem). Oblasti zcela obklopené větším počtem jsou zobrazeny s modrým pozadím.^[9]

Před rokem 2010, pokud jste chtěli příklad kouzelného čtverce většího než 5 × 5, bylo nutné dodržovat chytrá konstrukční pravidla, která poskytla velmi izolované příklady. 13x13 pandiagonální magický čtverec níže je takový příklad. Utility Harryho Whitea CompleteSquare ^[5] umožňuje komukoli použít magický čtverec, protože hrnčíř by použil kus hlíny. Druhý obrázek ukazuje kouzelný čtverec 14x14, který byl zformován do podoby rybníků, které píší data 1514 - 2014. Animace zaznamenává, jak byl povrch vytesán tak, aby naplnil všechny rybníky, než voda odtéká z náměstí. Toto náměstí ctí 500. výročí slavného kouzelnického náměstí Durer v Melencolia I..

Tento obrázek také poskytuje příklad čtverce a jeho doplňku, které mají stejný vzor retence. K dispozici jsou magické čtverce 137 řádu 4 a 3 254 798 řádu 5, které nezadržují vodu.^[2]

212	198	200	202	204	206	208	13	12	10	8	6	4	2	210
27	186	174	176	178	180	182	39	38	36	34	32	30	184	199
25	51	164	154	156	158	160	61	60	58	56	54	162	175	201
23	49	71	146	138	140	142	79	78	76	74	144	155	177	203
21	47	69	87	132	126	128	93	92	90	130	139	157	179	205
19	45	67	85	99	122	118	103	102	120	127	141	159	181	207
17	43	65	83	97	107	116	109	114	119	129	143	161	183	209
15	41	63	81	95	105	111	113	115	121	131	145	163	185	211
215	189	167	149	135	125	112	117	110	101	91	77	59	37	11
217	191	169	151	137	106	108	123	124	104	89	75	57	35	9
219	193	171	153	96	100	98	133	134	136	94	73	55	33	7
221	195	173	82	88	86	84	147	148	150	152	80	53	31	5
223	197	64	72	70	68	66	165	166	168	170	172	62	29	3
225	42	52	50	48	46	44	187	188	190	192	194	196	40	1
16	28	26	24	22	20	18	213	214	216	218	220	222	224	14

16 x 16 asociativní magický čtverec zadržující 17840 jednotek. Jezero na prvním obrázku vypadá trochu ošklivěji než obyčejně. Jarek Wroblewski poznamenává, že dobré vzory pro maximální retenci budou mít stejný nebo téměř stejný počet zadržovacích buněk na každé okrajové hraně (v tomto případě 7 buněk na každé hraně) ^[3] Druhý obrázek je upraven a zastíněn v horních a dolních 37 hodnotách.

Na obrázku níže je kouzelný čtverec formátu Luo-Shu 17x17.^[10]Zdá se, že konstrukční metoda formátu Luo-Shu produkuje maximální počet rybníků. Odtoková cesta pro buňku zeleně je dlouhá a nakonec se vylije z náměstí u žluté přepadové buňky.

Obrázek vpravo ukazuje, jaké informace lze odvodit z pohledu na skutečný obsah vody v každé buňce. Pouze 144 hodnot je zvýrazněno, aby čtverec nevypadal příliš zaneprázdněn. Zaměření na zelenou buňku se základní hodnotou 7, nejvyšší překážkou na cestě ven je její sousední buňka s hodnotou 151 (ponecháno 151-7 = 144 jednotek). Voda pršela do této buňky a opouští čtverec u žluté buňky 10.

137	282	121	266	105	250	89	234	73	218	57	202	41	186	25	170	9
10	138	283	122	267	106	251	90	235	74	219	58	203	42	187	26	154
155	11	139	284	123	268	107	252	91	236	75	220	59	204	43	171	27
28	156	12	140	285	124	269	108	253	92	237	76	221	60	188	44	172
173	29	157	13	141	286	125	270	109	254	93	238	77	205	61	189	45
46	174	30	158	14	142	287	126	271	110	255	94	222	78	206	62	190
191	47	175	31	159	15	143	288	127	272	111	239	95	223	79	207	63
64	192	48	176	32	160	16	144	289	128	256	112	240	96	224	80	208
209	65	193	49	177	33	161	17	145	273	129	257	113	241	97	225	81
82	210	66	194	50	178	34	162	1	146	274	130	258	114	242	98	226
227	83	211	67	195	51	179	18	163	2	147	275	131	259	115	243	99
100	228	84	212	68	196	35	180	19	164	3	148	276	132	260	116	244
245	101	229	85	213	52	197	36	181	20	165	4	149	277	133	261	117
118	246	102	230	69	214	53	198	37	182	21	166	5	150	278	134	262
263	119	247	86	231	70	215	54	199	38	183	22	167	6	151	279	135
136	264	103	248	87	232	71	216	55	200	39	184	23	168	7	152	280
281	120	265	104	249	88	233	72	217	56	201	40	185	24	169	8	153

00
			144		144		144		144		144		144		128
	127			144		144		144		144		144		128
		127			144		144		144		144		128		127
	127		127			144		144		144		128		127
		127		127			144		144		128		127		127
	127		127		127			144		128		127		127
		127		127		127			128		127		127		127
	127		127		127		127			127		127		127
		127		127		127		144			127		127		127
	127		127		127		144		144			127		127
		127		127		144		144		144			127		127
	127		127		144		144		144		144			127
		127		144		144		144		144		144			127
	127		144		144		144		144		144		144
		144		144		144		144		144		144		144
00

Mario Mamzeris vynalezl vlastní metodu pro konstrukci magických čtverců zvláštního řádu. Níže je zobrazen jeho asociativní magický čtverec řádu 19.^[11]

Na magickém čtverci 21 x 21 pod všemi sudými čísly tvoří přehrady a rybníky a všechna lichá čísla poskytují únikové cesty.^[12]

Počítačový věk nyní umožňuje zkoumat fyzikální vlastnosti magických čtverců libovolného řádu. Obrázek níže ukazuje největší magický čtverec studovaný v soutěži. U L> 20 se počet proměnných / rovnic zvyšuje do bodu, kdy je předvídatelný vzor pro maximální retenci.

L = 28: 219822 zadržovacích jednotek
1	5	259	659	257	713	712	282	256	283	657	255	656	284	726	725	254	285	654	253	286	55	673	674	471	645	7	3
9	640	664	25	717	26	27	716	715	714	28	668	29	744	30	31	730	743	50	681	680	679	51	52	678	206	646	11
265	665	355	722	496	618	71	484	95	121	721	400	774	418	130	176	293	541	749	479	106	175	389	148	230	682	43	644
663	14	724	356	313	513	75	189	198	449	213	775	87	478	539	139	326	60	451	750	461	566	141	442	638	477	677	276
266	720	164	572	354	226	491	171	512	117	776	247	244	503	435	85	629	406	144	634	751	592	462	125	134	514	44	672
711	15	565	116	100	357	579	112	637	777	108	469	433	546	80	559	525	468	526	227	146	752	368	557	328	212	46	671
710	16	153	174	222	119	353	627	778	64	297	456	544	474	178	473	410	563	515	331	403	387	753	402	569	304	45	670
709	17	70	325	168	509	445	779	166	366	401	83	92	482	129	338	408	492	585	529	369	298	424	754	582	519	676	275
267	719	156	103	455	531	780	391	358	537	76	142	367	309	522	245	320	437	632	386	545	497	224	123	755	161	675	277
264	718	444	600	508	781	196	553	65	352	488	344	624	104	216	551	98	616	370	294	233	101	416	490	109	756	47	652
662	18	723	417	782	310	564	606	420	483	359	518	548	246	475	58	628	385	571	69	149	223	335	235	86	113	733	274
263	669	218	783	127	429	581	77	399	136	88	351	602	538	636	635	371	220	74	570	99	633	543	498	502	173	48	727
661	19	784	407	179	184	195	609	393	495	203	567	360	576	394	384	388	137	625	154	523	229	489	485	219	314	738	279
268	748	597	307	505	615	441	315	583	562	194	542	446	350	372	588	316	443	120	162	89	102	560	317	110	329	737	272
729	20	521	177	232	340	128	411	152	122	334	241	605	383	361	412	578	202	619	73	611	549	589	587	432	568	736	278
262	746	68	580	242	187	558	183	398	601	594	182	373	296	460	349	332	556	205	419	614	323	547	586	207	114	735	273
269	745	458	131	111	78	337	610	532	612	622	382	59	365	554	448	362	613	82	574	172	493	466	126	145	630	734	280
261	747	158	465	598	221	459	214	524	167	374	608	533	409	319	330	595	348	181	428	305	453	584	199	61	765	33	651
660	21	773	536	561	94	345	165	204	381	621	528	447	211	500	135	452	342	363	301	396	527	185	225	764	306	666	281
270	694	517	772	392	431	312	240	375	190	617	151	91	324	333	520	231	215	511	347	540	238	97	763	413	707	49	650
260	693	105	405	771	550	295	380	302	336	311	620	234	133	427	197	516	150	90	607	364	425	762	486	67	530	703	271
53	692	300	163	631	770	376	191	157	552	414	415	555	422	626	590	339	507	79	188	147	761	430	308	436	132	702	54
683	22	397	423	535	379	769	155	421	494	322	454	390	217	510	623	107	200	591	186	760	341	346	593	237	115	24	696
684	23	228	118	377	575	303	768	327	534	487	573	438	472	457	599	464	439	143	759	604	138	160	72	395	124	32	697
480	691	209	378	440	504	140	501	767	81	201	159	404	210	467	577	57	169	758	193	426	470	93	596	639	180	701	499
648	258	695	299	192	208	481	321	318	766	463	96	63	506	84	236	239	757	343	708	450	243	170	434	603	706	62	641
10	649	38	690	39	37	689	688	687	40	732	36	742	741	740	739	731	41	667	35	705	42	34	13	704	66	643	12
2	6	647	287	686	685	288	252	251	658	289	728	250	249	290	248	291	655	292	653	56	698	699	700	476	642	8	4
Jarek Wroblewski 24. března 2010

Toto je panmagický čtverec 32x32. Dwane Campbell pomocí binárních konstrukčních metod vytvořil tento zajímavý příklad zadržování vody.^[13] Obslužný program GET TYPE aplikovaný na tento čtverec ukazuje, že má následující vlastnosti: 1) normální magie 2) pandiagonální 3) ohnutá úhlopříčka obousměrně 4) samoplnění.^{[Citace je zapotřebí ]}

Náhodné povrchy

Zadržování vody na náhodném povrchu 10 úrovní.

Dalším systémem, ve kterém byla studována retenční otázka, je povrch náhodných výšek. Zde je možné namapovat náhodnou plochu na perkolaci místa a každá buňka je mapována na místo na podkladovém grafu nebo mřížce, která představuje systém. Použitím teorie perkolace, lze vysvětlit mnoho vlastností tohoto systému. Je to příklad modelu perkolační invaze, ve kterém je tekutina zaváděna do systému z libovolného náhodného místa.^[14]^[15]^[16]

v hydrologie, jeden se zabývá odtokem a tvorbou povodí.^[17] Hranice mezi různými povodí (povodí v Severní Americe) tvoří a drenážní předěl s fraktální dimenze asi 1,22.^[18]^[19]^[20]

Problém zadržení lze mapovat na standardní perkolaci.^[21]^[22]^[23] Například pro systém pěti stejně pravděpodobných úrovní je množství skladované vody R₅ je jen součet vody uložené ve dvouúrovňových systémech R₂p) s různými zlomky úrovní p v nejnižším stavu:

R₅ = R₂(1/5) + R₂(2/5) + R₂(3/5) + R₂(4/5)

Vpravo jsou zobrazeny typické dvouúrovňové systémy 1,2 s p = 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 (modrá: mokrá, zelená: suchá, žlutá: přelivy hraničící s mokrými místy). Čistá retence pětistupňového systému je součtem všech těchto. Nejvyšší úroveň nezachytí žádnou vodu, protože je vysoko nad práh perkolace pro čtvercovou mřížku, 0,592746.

Zachování dvouúrovňového systému R.₂(p) je množství vody připojené k rybníkům, které se nedotýkají hranice systému. Když p je nad kritickým prahem perkolace p _C, bude existovat prosakující shluk nebo rybník, který navštíví celý systém. Pravděpodobnost, že bod patří do prosakujícího nebo „nekonečného“ klastru, je zapsána jako P_∞ v teorii perkolace a souvisí s R₂(p) od R₂(p)/L² = p − P_∞ kde L je velikost čtverce. Retence víceúrovňového systému tedy může souviset se známým množstvím v teorie perkolace.

K měření retence lze použít a zaplavovací algoritmus ve kterém je voda přiváděna z hranic a zaplavuje nejnižším přepadem, jak je hladina zvýšena. Zadržení je pouze rozdíl ve vodní hladině, kterou místo zaplavilo minus výška terénu pod ním.

Kromě výše popsaných systémů diskrétních úrovní lze z terénní proměnné udělat spojitou proměnnou, řekněme od 0 do 1. Podobně lze z výšky povrchu udělat spojitou funkci prostorových proměnných. Ve všech případech je základní koncept mapování vhodný perkolace systém zůstává.

Zvláštní výsledek je, že čtvercový systém n diskrétních úrovní může zadržet více vody než systém n + 1 úrovní pro dostatečně velký řád L> L *. Tomuto chování lze porozumět prostřednictvím teorie perkolace, kterou lze také použít k odhadu L * ≈ (p - p_C)^−ν kde ν = 4/3, p = i * / n kde i * je největší hodnota i taková, že i / n Ca str_C = 0,592746 je prahová hodnota perkolace stránek pro čtvercovou mříž. Numerické simulace poskytují následující hodnoty L *, které jsou extrapolovány na jiné než celočíselné hodnoty. Například, R₂ < R₃ pro L ≤ 51, ale R₂ > R₃ pro L ≥ 52:^[21]

n	n + 1	L *	Retence ve společnosti L *
2	3	51.12	790
4	5	198.1	26000
7	8	440.3	246300
9	10	559.1	502000
12	13	1390.6	428850
14	15	1016.3	2607000

Jak se n zvětšuje, křížení je čím dál méně časté a hodnota L *, kde dochází ke křížení, již není monotónní funkcí n.

Zadržení, když povrch není zcela náhodný, ale souvisí s a Hurstův exponent H je popsána v.^[23]

Algoritmy

Následující časová osa ukazuje použití různých algoritmů, které rozšířily velikost čtverce, který lze vyhodnotit pro uchování

2007 Definujte všechny procházky, které se vyhýbají sousedům, z každé vnitřní buňky do vnější a poté seřaďte všechny tyto cesty, abyste měli co nejmenší překážku nebo hodnotu buňky. Nejmenší hodnota překážky minus hodnota vnitřní buňky zajišťuje zadržování vody pro tuto vnitřní buňku (záporné hodnoty jsou nastaveny na hodnotu zadržení 0). Počet procházek vyhýbajících se sousedům, které mají být vyhodnoceny, roste exponenciálně s velikostí čtverce a omezuje tak tuto metodiku na L <6.^[2]

2009 Algoritmus zaplavení - voda je přiváděna z hranic a zaplavuje nejnižším přelivem při zvyšování hladiny. Zadržení je pouze rozdíl ve vodní hladině, kterou místo zaplavilo minus výška terénu pod ním. Algoritmus zaplavení umožňuje vyhodnocení zadržování vody až do L <10 000.^[21] Tento algoritmus je podobný Meyerův zaplavovací algoritmus který byl použit při analýze topografických povrchů.

2011 S vědomím, že systém na úrovni n lze rozdělit na kolekci systémů na dvou úrovních s různou pravděpodobností, lze použít standardní perkolační algoritmy k nalezení retence jako jednoduše celkového počtu webů na nižší úrovni minus odtokové oblasti (shluky webů nízké úrovně dotýkajících se hranice). Nová aplikace Algoritmus Hoshen-Kopelman ve kterém jsou přidány oba řádky a sloupce jeden po druhém, umožňuje L být velmi velký (až 10⁹), ale úvahy o výpočetním čase omezují L řádově na 10⁷.^[24]

Cesty, které odvádějí vodu z náměstí, používané v algoritmu procházky vyhýbajícím se sousedům

Panel dole zleva doprava ukazuje: 1) tři jedinečné vnitřní polohy pro čtverec 5 × 5; 2 a 4) opravte cesty od čtverce šedě pro vnitřní rohovou buňku červeně; 3) nesprávná šedá cesta, protože voda nemůže cestovat po úhlopříčkách; 5) tato cesta je správná, ale mezi šedými buňkami je možný zkrat. Procházky vyhýbající se sousedům definují jedinečné nebo neredundantní cesty, které odvádějí vodu z náměstí.

00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	1

00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00

00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00

00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00

00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00
00	00	00	00	00

Viz také

Rozvod drenáže

Reference

^ https://oeis.org/A303295 OEIS A303295
^ ^A ^b ^C ^d ^E Craig Knecht, http://www.knechtmagicsquare.paulscomputing.com
^ ^A ^b Al Zimmermann http://www.azspcs.net/Contest/MagicWater/FinalReport
^ ^A ^b ^C Harvey Heinz, http://www.magic-squares.net/square-update-2.htm#Knecht
^ ^A ^b Harry White, http://budshaw.ca/Download.html
^ Walter Trump http://www.trump.de/magic-squares/
^ Johan Ofverstedt,http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:uu:diva-176018
^ Hasan M., Masbaul Alam Polash M. (2020) Efektivní místní vyhledávání založené na omezeních pro maximalizaci zadržování vody na magických čtvercích. In: Hitendra Sarma T., Sankar V., Shaik R. (eds) Emerging Trends in Electrical, Communications, and Information Technologies. Přednášky v elektrotechnice, sv. 569. Springer, Singapur
^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A270205 (počet 2 X 2 planárních podmnožin v krychli n X n X n)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
^ Harvey Heinz,http://www.magic-squares.net/square-update.htm
^ https://www.oddmagicsquares.com
^ „Mapování oblasti“.
^ http://magictesseract.com
^ Chayes, J. T .; L. Chayes; C. M. Newman (1985). "Stochastická geometrie perkolace invaze". Komunikace v matematické fyzice. 101 (3): 383–407. Bibcode:1985CMaPh.101..383C. doi:10.1007 / BF01216096.
^ Damron, Michael; Artëm Sapozhnikov; Bálint Vágvölgyi (2009). "Vztahy mezi perkolací invaze a kritickou perkolací ve dvou dimenzích". Annals of Probability. 37 (6): 2297–2331. arXiv:0806.2425. doi:10.1214 / 09-AOP462.
^ van den Berg, Jacob; Antal Járai; Bálint Vágvölgyi (2007). Msgstr "Velikost rybníka ve 2D prosakování". Pravděpodobnost elektronických komunikací. 12: 411–420. arXiv:0708.4369. Bibcode:2007arXiv0708.4369V. doi:10.1214 / ECP.v12-1327.
^ Tetzlaff, D .; McDonnell, J. J .; Uhlenbrook, S .; McGuire, K. J .; Bogaart, P. W .; Naef, F .; Baird, A. J .; Dunn, S. M .; Soulsby, C. (2011). „Konceptualizace spádových procesů: jednoduše příliš složité?“. Hydrologické procesy. 22 (11): 1727–1730. Bibcode:2008HyPr ... 22.1727T. doi:10,1002 / hyp.7069.
^ Fehr, E .; D. Kadau; N. A. M. Araújo; J. S. Andrade ml .; H. J. Herrmann (2011). "Škálování vztahů pro povodí". Fyzický přehled E. 84 (3): 036116. arXiv:1106.6200. Bibcode:2011PhRvE..84c6116F. doi:10.1103 / PhysRevE.84.036116. PMID 22060465.
^ Schrenk, K. J .; N. A. M. Araújo; J. S. Andrade ml .; H. J. Herrmann (2012). „Zlomení hodnocených povrchů“. Vědecké zprávy. 2: 348. arXiv:1103.3256. Bibcode:2012NatSR ... 2E.348S. doi:10.1038 / srep00348. PMC 3317236. PMID 22470841.
^ Fehr, E .; D. Kadau; J. S. Andrade Jr; H. J. Herrmann (2011). "Dopad poruch na povodí". Dopisy o fyzické kontrole. 106 (4): 048501. arXiv:1101.5890. Bibcode:2011PhRvL.106d8501F. doi:10.1103 / PhysRevLett.106.048501. PMID 21405368.
^ ^A ^b ^C Knecht, Craig; Walter Trump; Daniel ben-Avraham; Robert M. Ziff (2012). „Retenční kapacita náhodných povrchů“. Dopisy o fyzické kontrole. 108 (4): 045703. arXiv:1110.6166. Bibcode:2012PhRvL.108d5703K. doi:10.1103 / PhysRevLett.108.045703. PMID 22400865.
^ Baek, Seung Ki; Beom Jun Kim (2012). „Kritický stav modelu zadržování vody“. Fyzický přehled E. 85 (3): 032103. arXiv:1111.0425. Bibcode:2012PhRvE..85c2103B. doi:10.1103 / PhysRevE.85.032103. PMID 22587136.
^ ^A ^b Schrenk, K. J .; N. A. M Araújo; R. M. Ziff; H. J. Herrmann (2014). "Retenční kapacita korelovaných povrchů". Fyzický přehled E. 89 (6): 062141. arXiv:1403.2082. Bibcode:2014PhRvE..89f2141S. doi:10.1103 / PhysRevE.89.062141. PMID 25019758.
^ Hoshen, Joseph (1998). "O aplikaci vylepšeného Hoshen-Kopelmanova algoritmu pro analýzu obrazu". Písmena pro rozpoznávání vzorů. 19 (7): 575–584. doi:10.1016 / S0167-8655 (98) 00018-x.

Další čtení

Pickover, Clifford (2002). Zen magických čtverců, kruhů a hvězd: Výstava překvapivých struktur napříč dimenzemi. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11597-9.
Stauffer, Dietrich; Aharony, A. (1994). Úvod do teorie perkolace. London Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 978-0-7484-0253-3.

externí odkazy

https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Associative_magic_squares_of_order_4
Hugo Pfoertner. OEIS sekvence A201126 (maximální zadržování vody v magickém čtverci řádu n), s odkazy na obrázky magického čtverce
Hugo Pfoertner. OEIS sekvence A201127 (maximální zadržování vody polomagického čtverce řádu n)
Diskusní stránka pro programovací soutěže Al Zimmermann
Položka na Marnost skříň
OEIS sekvence A261798 (maximální zadržování vody asociativního magického čtverce řádu n)
OEIS sekvence A268311 (Počet volných polyominoů, které tvoří souvislou cestu buněk připojených k okraji překlenujících čtverec n X n v obou rozměrech) —Výpočet polyominoe a vzory jezer
OEIS posloupnost A275359 (maximální uvěznění čísel v kostkách čísel n X n X n s plnými objemy uvěznění) —Upgradujte model z 2D na 3D
[1] Příroda 2018
[2] Histogram zadržování vody jako výpočetní problém
http://oeis.org/A331507/ Maximální počet rybníků

[MPOEIS-1] ttps://oeis.org/A303295 OEIS A303295

[KnechtWeb-2] A ^b ^C ^d ^E Craig Knecht, http://www.knechtmagicsquare.paulscomputing.com

[Al_Zimmermann-3] A ^b Al Zimmermann http://www.azspcs.net/Contest/MagicWater/FinalReport

[Heinz-4] A ^b ^C Harvey Heinz, http://www.magic-squares.net/square-update-2.htm#Knecht

[HarryWhite-5] A ^b Harry White, http://budshaw.ca/Download.html

[Trump-6] Walter Trump http://www.trump.de/magic-squares/

[Johan_Ofverstedt-7] Johan Ofverstedt,http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:uu:diva-176018

[Masbaul_Alam_Polash_M.-8] Hasan M., Masbaul Alam Polash M. (2020) Efektivní místní vyhledávání založené na omezeních pro maximalizaci zadržování vody na magických čtvercích. In: Hitendra Sarma T., Sankar V., Shaik R. (eds) Emerging Trends in Electrical, Communications, and Information Technologies. Přednášky v elektrotechnice, sv. 569. Springer, Singapur

[2x2_Planar_subsets-9] Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A270205 (počet 2 X 2 planárních podmnožin v krychli n X n X n)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

[Heinz1-10] Harvey Heinz,http://www.magic-squares.net/square-update.htm

[Mario_Mamzeris-11] ttps://www.oddmagicsquares.com

[AMS_Harry_White-12] „Mapování oblasti“.

[Dwane_Campbell_Magic_Tesseract-13] ttp://magictesseract.com

[ChayesChayesNewman-14] Chayes, J. T .; L. Chayes; C. M. Newman (1985). "Stochastická geometrie perkolace invaze". Komunikace v matematické fyzice. 101 (3): 383–407. Bibcode:1985CMaPh.101..383C. doi:10.1007 / BF01216096.

[DamronSapozhnikovVagvolgyi-15] Damron, Michael; Artëm Sapozhnikov; Bálint Vágvölgyi (2009). "Vztahy mezi perkolací invaze a kritickou perkolací ve dvou dimenzích". Annals of Probability. 37 (6): 2297–2331. arXiv:0806.2425. doi:10.1214 / 09-AOP462.

[vandenBerg-16] van den Berg, Jacob; Antal Járai; Bálint Vágvölgyi (2007). Msgstr "Velikost rybníka ve 2D prosakování". Pravděpodobnost elektronických komunikací. 12: 411–420. arXiv:0708.4369. Bibcode:2007arXiv0708.4369V. doi:10.1214 / ECP.v12-1327.

[Tetzlaff11-17] Tetzlaff, D .; McDonnell, J. J .; Uhlenbrook, S .; McGuire, K. J .; Bogaart, P. W .; Naef, F .; Baird, A. J .; Dunn, S. M .; Soulsby, C. (2011). „Konceptualizace spádových procesů: jednoduše příliš složité?“. Hydrologické procesy. 22 (11): 1727–1730. Bibcode:2008HyPr ... 22.1727T. doi:10,1002 / hyp.7069.

[Fehr11-18] Fehr, E .; D. Kadau; N. A. M. Araújo; J. S. Andrade ml .; H. J. Herrmann (2011). "Škálování vztahů pro povodí". Fyzický přehled E. 84 (3): 036116. arXiv:1106.6200. Bibcode:2011PhRvE..84c6116F. doi:10.1103 / PhysRevE.84.036116. PMID 22060465.

[Schrenk12-19] Schrenk, K. J .; N. A. M. Araújo; J. S. Andrade ml .; H. J. Herrmann (2012). „Zlomení hodnocených povrchů“. Vědecké zprávy. 2: 348. arXiv:1103.3256. Bibcode:2012NatSR ... 2E.348S. doi:10.1038 / srep00348. PMC 3317236. PMID 22470841.

[Fehr11b-20] Fehr, E .; D. Kadau; J. S. Andrade Jr; H. J. Herrmann (2011). "Dopad poruch na povodí". Dopisy o fyzické kontrole. 106 (4): 048501. arXiv:1101.5890. Bibcode:2011PhRvL.106d8501F. doi:10.1103 / PhysRevLett.106.048501. PMID 21405368.

[Knecht11-21] A ^b ^C Knecht, Craig; Walter Trump; Daniel ben-Avraham; Robert M. Ziff (2012). „Retenční kapacita náhodných povrchů“. Dopisy o fyzické kontrole. 108 (4): 045703. arXiv:1110.6166. Bibcode:2012PhRvL.108d5703K. doi:10.1103 / PhysRevLett.108.045703. PMID 22400865.

[BaekKim11-22] Baek, Seung Ki; Beom Jun Kim (2012). „Kritický stav modelu zadržování vody“. Fyzický přehled E. 85 (3): 032103. arXiv:1111.0425. Bibcode:2012PhRvE..85c2103B. doi:10.1103 / PhysRevE.85.032103. PMID 22587136.

[K.J.Schrenk-23] A ^b Schrenk, K. J .; N. A. M Araújo; R. M. Ziff; H. J. Herrmann (2014). "Retenční kapacita korelovaných povrchů". Fyzický přehled E. 89 (6): 062141. arXiv:1403.2082. Bibcode:2014PhRvE..89f2141S. doi:10.1103 / PhysRevE.89.062141. PMID 25019758.

[Hoshen-24] Hoshen, Joseph (1998). "O aplikaci vylepšeného Hoshen-Kopelmanova algoritmu pro analýzu obrazu". Písmena pro rozpoznávání vzorů. 19 (7): 575–584. doi:10.1016 / S0167-8655 (98) 00018-x.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]