Voigtův efekt - Voigt effect

Schéma polárního Kerrova efektu, podélného Kerrova efektu a Voigtova efektu

The Voigtův efekt je magneticko-optický jev, který rotuje a eliptizuje lineárně polarizované světlo vysílané do opticky aktivního média.^[1] Na rozdíl od mnoha jiných magnetooptické efekty jako je Kerrův nebo Faradayův jev, které jsou lineárně úměrné magnetizaci (nebo aplikovanému) magnetické pole pro nemagnetizovaný materiál) je Voigtův efekt úměrný druhé mocnině magnetizace (nebo druhé mocnině) magnetické pole ) a lze je vidět experimentálně při normálním výskytu. V literatuře existuje pro tento účinek několik označení: Efekt Bavlna – Mouton (v odkazu na francouzské vědce Aimé bavlna a Henri Mouton ), Voigtův efekt (v odkazu na německého vědce Woldemar Voigt ), a magneticko-lineární dvojlom. Tato poslední nominální hodnota je blíže ve fyzickém smyslu, kde Voigtův efekt je magnetický dvojlom materiálu s indexem lomu rovnoběžným ( ${displaystyle n_ {paralelní}}$ ) a kolmo ${displaystyle (n_ {perp}}$ ) na magnetizační vektor nebo na aplikované magnetické pole.

Pro elektromagnetickou dopadající vlnu lineárně polarizovanou ${displaystyle {vec {E_ {i}}} = {egin {pmatrix} cos eta sin eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t-n_ {1} z / c)}}$ a polarizovaný vzorek v rovině ${displaystyle {vec {m}} = {egin {pmatrix} cos phi sin phi 0end {pmatrix}}}$ , je výraz rotace v reflexní geometrii ${displaystyle delta eta}$ je :

{displaystyle delta eta _ {r} = {frac {2Delta n} {n_ {0} ^ {2} -1}} sin [2 (phi - eta)]}

a v geometrii přenosu:

{displaystyle quad delta eta _ {t} = {frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} {Big [} {frac {2Lomega} {c}} (1 + n_ {0}) Q_ {i } Q_ {r} + Q_ {r} ^ {2} -Q_ {i} ^ {2} {Big]}} {n_ {0} (1 + n_ {0})}}}

,

kde ${displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}$ je rozdíl indexů lomu v závislosti na parametru Voigt ${displaystyle Q = Q_ {i} + iQ_ {r}}$ (stejné jako u efektu Kerr), ${displaystyle n_ {0}}$ indexy lomu materiálu a ${displaystyle B_ {1}}$ parametr zodpovědný za Voigtův efekt a tak úměrný ${displaystyle M ^ {2}}$ nebo ${displaystyle (mu _ {0} H) ^ {2}}$ v případě paramagnetického materiálu.

Podrobný výpočet a ilustrace jsou uvedeny v následujících částech.

Teorie

Rámec a souřadnicový systém pro odvození Voigtova jevu.

{displaystyle {vec {E}} _ {i}}

,

{displaystyle {vec {E}} _ {r}}

a

{displaystyle {vec {E}} _ {t}}

se vztahují k dopadajícímu, odraženému a přenášenému elektromagnetickému poli.

Stejně jako u ostatních magnetooptických efektů je teorie vyvinuta standardním způsobem s použitím účinného dielektrického tenzoru, ze kterého se počítají vlastní hodnoty systémů a vlastní vektory. Jak je obvyklé, z tohoto tenzoru jsou magnetooptické jevy popsány hlavně off-diagonálními prvky.

Zde uvažujeme dopadající polarizaci šířící se ve směru z: ${displaystyle {vec {E_ {i}}} = {egin {pmatrix} cos eta sin eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t-n_ {1} z / c)}}$ elektrické pole a homogenně magnetizovaný vzorek v rovině ${displaystyle {vec {m}} = {egin {pmatrix} cos phi sin phi 0end {pmatrix}}}$ kde ${displaystyle phi}$ se počítá od [100] krystalografického směru. Cílem je vypočítat ${displaystyle {vec {E_ {r}}} = {egin {pmatrix} cos eta + delta eta sin eta + delta eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t + n_ {1} z / c) }}$ kde ${displaystyle delta eta}$ je rotace polarizace v důsledku vazby světla s magnetizací. Všimněme si toho ${displaystyle delta eta}$ je experimentálně malé množství řádu mrad. ${displaystyle {vec {m}}}$ je redukovaný vektor magnetizace definovaný symbolem ${displaystyle {vec {m}} = {vec {M}} / M_ {s}}$ , ${displaystyle M_ {s}}$ magnetizace při nasycení. Zdůraznili jsme s tím, že je to proto, že vektor šíření světla je kolmý na rovinu magnetizace, že je možné vidět Voigtův efekt.

Dielektrický tenzor

V návaznosti na notaci Huberta^[2] generalizovaný dielektrický kubický tenzor ${displaystyle epsilon _ {r}}$ mít následující formu:

{displaystyle (1) qquad epsilon _ {r} = epsilon {egin {bmatrix} 1 & 0 & iQm_ {y} 0 & 1 & -iQm_ {x} - iQm_ {y} & iQm_ {x} & 1end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} B_ {1} m_ {x} ^ {2} & B_ {2} m_ {x} m_ {y} & 0 B_ {2} m_ {x} m_ {y} & B_ {1} m_ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & B_ {1} m_ {z} ^ {2} konec {bmatrix}}}

kde ${displaystyle epsilon}$ je materiálová dielektrická konstanta, ${displaystyle Q}$ parametr Voigt, ${displaystyle B_ {1}}$ a ${displaystyle B_ {2}}$ dvě kubické konstanty popisující magnetooptický efekt v závislosti na ${displaystyle m_ {i} ^ {2}}$ . ${displaystyle m_ {i}}$ je redukce ${displaystyle m_ {i} = M_ {i} / M_ {s}}$ . Výpočet se provádí ve sférické aproximaci pomocí ${displaystyle B_ {1} = B_ {2}}$ . V tuto chvíli^{[když? ]} neexistují důkazy o tom, že tato aproximace není platná, protože pozorování Voigtova jevu je vzácné, protože je extrémně malé s ohledem na Kerrův efekt.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů uvažujeme rovnici šíření odvozenou z Maxwellových rovnic s konvencí ${displaystyle {vec {n}} = {vec {k}} c / omega}$ . :

{displaystyle (2) qquad n ^ {2} {vec {E}} - {vec {n}} ({vec {n}} cdot {vec {E}}) = epsilon {vec {E}}}

Když je magnetizace kolmá na vlnový šíření, na rozdíl od Kerrova efektu, ${displaystyle {vec {E}}}$ může mít všechny jeho tři složky rovné nule, což komplikuje výpočty a dělá Fresnelovy rovnice neplatnými. Způsob, jak problém zjednodušit, spočívá v použití vektoru posunutí elektrického pole ${displaystyle {vec {D}} = epsilon {vec {E}}}$ . Od té doby ${displaystyle {vec {abla}} cdot {vec {D}} = 0}$ a ${displaystyle {vec {k}} paralelní {vec {z}}}$ my máme ${displaystyle {vec {D}} = {egin {pmatrix} D_ {x} D_ {y} 0end {pmatrix}}}$ . Nevhodné je vypořádat se s inverzním dielektrickým tenzorem, jehož manipulace může být komplikovaná. Zde se výpočet provádí v obecném případě, který je matematicky komplikovaný, ale lze snadno následovat demonstraci zvážením ${displaystyle phi = 0}$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory jsou nalezeny řešením rovnice šíření na ${displaystyle {vec {D}}}$ což dává následující systém rovnic:

{displaystyle (3) quad left {{egin {matrix} (epsilon _ {xx} ^ {- 1} - {frac {1} {n ^ {2}}}) D_ {x} + epsilon _ {xy} ^ {-1} D_ {y} = 0 epsilon _ {yx} ^ {- 1} D_ {x} + (epsilon _ {yy} ^ {- 1} - {frac {1} {n ^ {2} }}) D_ {y} = 0end {matrix}} vpravo.}

kde

{displaystyle epsilon _ {ij} ^ {- 1}}

představuje inverzní

{displaystyle ij}

prvek dielektrického tenzoru

{displaystyle epsilon _ {r}}

, a

{displaystyle n ^ {2} = epsilon}

. Po přímém výpočtu determinantu systému je třeba provést vývoj ve 2. řádu

{displaystyle Q}

a první objednávka

{displaystyle B_ {1}}

. To vedlo ke dvěma vlastním číslům odpovídajícím dvěma indexům lomu:

{displaystyle n_ {parallel} ^ {2} = epsilon + B_ {1}}

{displaystyle n_ {perp} ^ {2} = epsilon (1-Q ^ {2})}

Odpovídající vlastní vektory pro ${displaystyle {vec {D}}}$ a pro ${displaystyle {vec {E}}}$ jsou:

{displaystyle (4) qquad {vec {D}} _ {parallel} = {egin {pmatrix} cos (phi) sin (phi) 0end {pmatrix}} qquad {vec {D}} _ {perp} = { egin {pmatrix} -sin (phi) cos (phi) 0end {pmatrix}} qquad {vec {E}} _ {paralelní} = epsilon ^ {- 1} {vec {D}} _ {paralelní} = { egin {pmatrix} {frac {cos (phi)} {B_ {1} + epsilon}} {frac {sin (phi)} {B_ {1} + epsilon}} 0end {pmatrix}} qquad {vec {E }} _ {perp} = epsilon ^ {- 1} {vec {D}} _ {perp} = {egin {pmatrix} {frac {sin (phi)} {(Q ^ {2} -1) epsilon}} {frac {cos (phi)} {(1-Q ^ {2}) epsilon}} {frac {-iQ} {(1-Q ^ {2}) epsilon}} konec {pmatrix}}}

Odrazová geometrie

Vztah kontinuity

Znát vlastní vektory a vlastní hodnoty uvnitř materiálu, je třeba vypočítat ${displaystyle {vec {E_ {r}}} = {egin {pmatrix} E_ {rx} E_ {ry} 0end {pmatrix}}}$ odražený elektromagnetický vektor obvykle detekovaný v experimentech. Používáme rovnice kontinuity pro ${displaystyle {vec {E}}}$ a ${displaystyle {vec {H}}}$ kde ${displaystyle {vec {H}}}$ je indukce definovaná od Maxwellovy rovnice podle ${displaystyle {vec {abla}} imes {vec {H}} = {frac {1} {c}} {frac {částečný {vec {D}}} {částečný t}}}$ . Uvnitř média se elektromagnetické pole rozkládá na odvozených vlastních vektorech ${displaystyle {vec {E}} _ {t} = alpha {vec {E}} _ {parallel} + eta {vec {E}} _ {perp}}$ . Systém rovnice k řešení je:

{displaystyle (5) quad left {{egin {matrix} alpha {Big (} {frac {D_ {yparallel}} {n_ {parallel}}} {Big)} + eta {Big (} {frac {D_ {yperp} } {n_ {perp}}} {Big)} + E_ {ry} = E_ {0y} alpha {Big (} {frac {D_ {xparallel}} {n_ {parallel}}} {Big)} + eta {Big (} {frac {D_ {xperp}} {n_ {perp}}} {Big)} + E_ {rx} = E_ {0x} alpha E_ {xparallel} + eta E_ {xperp} -E_ {rx } = E_ {0x} alpha E_ {yparallel} + eta E_ {yperp} -E_ {ry} = E_ {0y} konec {matrix}} v pořádku.}

Řešení tohoto systému rovnice jsou:

{displaystyle (6) quad E_ {rx} = E_ {0} {frac {(1-n_ {perp} n_ {parallel}) cos (eta) + (n_ {perp} -n_ {parallel}) cos (eta - 2phi)} {(1 + n_ {paralelní}) (1 + n_ {perp})}}}

{displaystyle (7) quad E_ {ry} = E_ {0} {frac {(1-n_ {perp} n_ {parallel}) sin (eta) - (n_ {perp} -n_ {parallel}) sin (eta - 2phi)} {(1 + n_ {paralelní}) (1 + n_ {perp})}}}

Výpočet úhlu natočení

Úhel otočení ${displaystyle delta eta}$ a úhel elipticity ${displaystyle psi}$ jsou definovány z poměru ${displaystyle chi = E_ {ry} / E_ {rx}}$ pomocí dvou následujících vzorců:

{displaystyle (8) quad an 2delta eta = {frac {2operatorname {Re} (chi)} {1- | chi | ^ {2}}} qquad (9) quad sin (2psi _ {K}) = {frac { 2operatorname {Im} (chi)} {1- | chi | ^ {2}}},}

kde ${displaystyle operatorname {Re} (chi)}$ a ${displaystyle operatorname {Im} (chi)}$ představují skutečnou a imaginární část ${displaystyle chi}$ . Pomocí dvou dříve vypočítaných složek získá jedna:

{displaystyle (10) qquad chi = {frac {(B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2})} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2} -1)} } {frac {sin [2 (phi - eta)]} {cos (eta) ^ {2}}} + an (eta).}

To dává rotaci Voigt:

{displaystyle (11) qquad delta eta = operatorname {Re} vlevo [{frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2}} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2 } -1)}} ight] sin [2 (phi - eta)],}

který lze také přepsat v případě

{displaystyle B_ {1}}

,

{displaystyle n_ {0}}

a

{displaystyle Q}

nemovitý:

{displaystyle (12) quad delta eta = {frac {2Delta n} {n_ {0} ^ {2} -1}} sin [2 (phi - eta)],}

kde

{displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}

je rozdíl indexů lomu. V důsledku toho člověk získá něco úměrného

{displaystyle Delta n}

a která závisí na dopadající lineární polarizaci. Správně

{displaystyle phi - eta}

nelze pozorovat Voigtovu rotaci.

{displaystyle Delta n}

je úměrná druhé mocnině magnetizace od

{displaystyle B_ {1} propto M_ {s} ^ {2}}

a

{displaystyle Qpropto M_ {s}}

.

Geometrie přenosu

Výpočet rotace Voigtova jevu v přenosu je v zásadě ekvivalentní výpočtu Faradayova jevu. V praxi se tato konfigurace obecně nepoužívá pro feromagnetické vzorky, protože absorpční délka je u tohoto druhu materiálu slabá. Použití přenosové geometrie je však běžnější pro paramagnetickou kapalinu nebo cristal, kde světlo může snadno cestovat uvnitř materiálu.

Výpočet paramagnetického materiálu je přesně stejný s ohledem na feromagnetický materiál, kromě toho, že magnetizace je nahrazena polem ${displaystyle mu _ {0} {vec {H}} = mu _ {0} H_ {0} {egin {pmatrix} cos phi sin phi end {pmatrix}}}$ ( ${displaystyle H_ {0}}$ v ${displaystyle A / m}$ nebo ${displaystyle G}$ ). Pro větší pohodlí bude pole přidáno na konci výpočtu v magnetooptických parametrech.

Zvažte přenášené elektromagnetické vlny ${displaystyle {vec {E}} _ {t}}$ množící se v médiu délky L. Z rovnice (5) se získá pro ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ :

{displaystyle alpha = {frac {2E_ {0} n_ {paralelní} cos (heta -phi)} {1 + n_ {paralelní}}}}

{displaystyle eta = {frac {2E_ {0} n_ {perp} ^ {2} sin (heta -phi)} {n_ {perp} +1}}}

Na pozici z = L je výraz

{displaystyle {vec {E}} _ {t}}

je :

{displaystyle (13) quad {vec {E}} _ {t} = e ^ {- iomega [t + {frac {(n_ {parallel} + n_ {perp}) L} {2c}}]} {Big [} alpha {vec {E}} _ {paralelní} e ^ {i {frac {omega Delta nL} {c}}} + eta {vec {E}} _ {perp} e ^ {- i {frac {omega Delta nL } {c}}} {velký]}}

kde

{displaystyle {vec {E}} _ {paralelní}}

a

{displaystyle {vec {E}} _ {perp}}

jsou vlastní vektory původně vypočítané a

{displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}

je rozdíl pro dva indexy lomu. Rotace se poté vypočítá z poměru

{displaystyle chi = {frac {E_ {t_ {y}}} {E_ {t_ {x}}}}}

, s vývojem v prvním pořadí v

{displaystyle B_ {1}}

a druhého řádu v

{displaystyle Q}

. To dává:

{displaystyle (14) quad chi = {frac {ci ~ omega L (1 + n_ {0}) (B_ {1} + n_ {0} Q ^ {2}) sin [2 (eta -phi)]} { 4cn_ {0} (1 + n_ {0}) cos ^ {2} (eta)}} = {frac {ci ~ omega L (1 + n_ {0}) Delta nsin [2 (eta -phi)]} { c ~ (1 + n_ {0}) cos ^ {2} (eta)}}}

Opět získáme něco úměrného ${displaystyle Delta n}$ a ${displaystyle L}$ , délka šíření světla. Všimněme si toho ${displaystyle Delta n}$ je úměrný ${displaystyle (mu _ {0} H_ {0}) ^ {2}}$ stejným způsobem s ohledem na geometrii v reflexi pro magnetizaci. Abychom získali Voigtovu rotaci, uvažujeme ${displaystyle n_ {0} = eta + i ~ kappa}$ , ${displaystyle Q = Q_ {r} + i ~ Q_ {i}}$ a ${displaystyle B_ {1}}$ nemovitý. Pak musíme vypočítat skutečnou část (14). Výsledný výraz se poté vloží do (8). V aproximaci žádné absorpce získáme pro Voigtovu rotaci v přenosové geometrii:

{displaystyle (15) quad delta eta = (mu _ {0} H) ^ {2} {frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} {Big [} {frac {2Lomega} {c}} (1 + n_ {0}) Q_ {i} Q_ {r} + Q_ {r} ^ {2} -Q_ {i} ^ {2} {Big]}} {n_ {0} (1 + n_ {0 })}}}

Ilustrace Voigtova efektu v GaMnAs

Obr. 1: a) Experimentální hysterezní cyklus na rovinném (Ga, Mn) Jako vzorek b) Voigtův hysterezní cyklus získaný extrakcí symetrické části (a). c) Podélný Kerr získaný extrakcí asymetrické části (a)

Obr. 2: a) Spínací mechanismus v rovině (Ga, Mn) Jako vzorek magnetického pole aplikovaného podél osy [1-10] při 12 K. b) Voigtův signál simulovaný z mechanismu ukázaný v a)

Pro ilustraci aplikace Voigtova jevu uvádíme příklad v magnetickém polovodiči (Ga, Mn) As, kde byl pozorován velký Voigtův efekt.^[3] Při nízkých teplotách (obecně pro ${displaystyle T <{frac {T_ {c}} {2}}}$ ) pro materiál s magnetizací v rovině, (Ga, Mn) As vykazuje biaxiální anizotropii s magnetizací zarovnanou podél (nebo blízko) <100> směrů.

Typický hysterezní cyklus obsahující Voigtův efekt je uveden na obrázku 1. Tento cyklus byl získán vysláním lineárně polarizovaného světla ve směru [110] s úhlem dopadu přibližně 3 ° (více podrobností naleznete v ^[4]) a měření rotace v důsledku magneticko-optických účinků odraženého světelného paprsku. Na rozdíl od společného podélného / polárního Kerrova jevu je hysterezní cyklus dokonce s ohledem na magnetizaci, která je podpisem Voigtova jevu. Tento cyklus byl získán s dopadem světla velmi blízkým normálu a také vykazuje malou lichou část; je třeba provést správné ošetření, aby se extrahovala symetrická část hystereze odpovídající Voigtovmu efektu a asymetrická část odpovídající podélnému Kerrovu efektu.

V případě zde uvedené hystereze bylo pole aplikováno ve směru [1-10]. Spínací mechanismus je následující:

Začínáme s vysokým záporným polem a magnetizace je na pozici 1 blízko směru [-1-10].
Magnetické pole klesá, což vede ke koherentní rotaci magnetizace z 1 na 2
V kladném poli se magnetizace brutálně přepne ze 2 na 3 nukleací a šířením magnetických domén, čímž se získá první koercitivní pole zde pojmenované ${displaystyle H_ {1}}$
Magnetizace zůstává blízko ke stavu 3, zatímco se koherentně otáčí ke stavu 4, blíže od směru aplikovaného pole.
Opět se magnetizace náhle přepne ze 4 na 5 nukleací a šířením magnetických domén. Toto přepínání je způsobeno skutečností, že konečná rovnovážná poloha je blíže ke stavu 5 vzhledem ke stavu 4 (a jeho magnetická energie je tak nižší). To dává další donucovací pole s názvem ${displaystyle H_ {2}}$
Nakonec magnetizace rotuje koherentně ze stavu 5 do stavu 6.

Simulace tohoto scénáře je uvedena na obrázku 2, s

{displaystyle operatorname {Re} vlevo [{frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2}} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2} -1)}} večer ] P_ {ext {Voigt}} = 0,5, mathrm {mrad}}

.

Jak je vidět, simulovaná hystereze je kvalitativně stejná s ohledem na experimentální. Všimněte si, že amplituda na ${displaystyle H_ {1}}$ nebo ${displaystyle H_ {2}}$ jsou přibližně dvakrát vyšší než ${displaystyle P_ {ext {Voigt}}}$

Viz také

Reference

^ Zvezdin, Anatoly Konstantinovich (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Moderní magnetooptika a magnetooptické materiály: Studie kondenzovaných látek, ISBN 978-0-7503-03620.
^ Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetické domény, ISBN 978-3-540-85054-0.
^ Kimel (2005). "Pozorování obřího magnetického lineárního dichroismu v (Ga, Mn) As". Dopisy o fyzické kontrole. 94 (22): 227203. Bibcode:2005PhRvL..94v7203K. doi:10.1103 / physrevlett.94.227203. hdl:2066/32798. PMID 16090433..
^ Shihab (2015). „Systematické studium závislosti tuhosti odstředění na legování fosforem v (Ga, Mn) jako feromagnetickém polovodiči“ (PDF). Aplikovaná fyzikální písmena. 106 (14): 142408. Bibcode:2015ApPhL.106n2408S. doi:10.1063/1.4917423..

Další čtení

Zhao, Zhong-Quan. Filtry atomového vedení v excitovaném stavu. Získaný 26. března 2006.

[1] Zvezdin, Anatoly Konstantinovich (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Moderní magnetooptika a magnetooptické materiály: Studie kondenzovaných látek, ISBN 978-0-7503-03620.

[2] Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetické domény, ISBN 978-3-540-85054-0.

[3] Kimel (2005). "Pozorování obřího magnetického lineárního dichroismu v (Ga, Mn) As". Dopisy o fyzické kontrole. 94 (22): 227203. Bibcode:2005PhRvL..94v7203K. doi:10.1103 / physrevlett.94.227203. hdl:2066/32798. PMID 16090433..

[4] Shihab (2015). „Systematické studium závislosti tuhosti odstředění na legování fosforem v (Ga, Mn) jako feromagnetickém polovodiči“ (PDF). Aplikovaná fyzikální písmena. 106 (14): 142408. Bibcode:2015ApPhL.106n2408S. doi:10.1063/1.4917423..

[1]

[2]

[3]

[4]