Optimalizace vektoru - Vector optimization

Optimalizace vektoru je podoblast matematická optimalizace kde optimalizační problémy s vektorovou hodnotou objektivní funkce jsou optimalizovány s ohledem na daný částečné objednání a podléhá určitým omezením. A vícecílová optimalizace problém je speciální případ problému s vektorovou optimalizací: Objektivní prostor je konečný rozměr Euklidovský prostor částečně seřazené podle komponentního „menšího nebo rovného“ uspořádání.

Formulace problému

Z matematického hlediska lze problém s optimalizací vektorů napsat jako:

${ displaystyle C operatorname {-} min _ {x v S} f (x)}$

kde ${ displaystyle f: X až Z}$ za částečně objednané vektorový prostor ${ displaystyle Z}$. Částečné uspořádání je indukováno kuželem ${ displaystyle C subseteq Z}$. ${ displaystyle X}$ je libovolná množina a ${ displaystyle S subseteq X}$ se nazývá proveditelná množina.

Koncepty řešení

Existují různé pojmy minimality, mezi nimi:

• ${ displaystyle { bar {x}} v S}$ je slabě efektivní bod (slabý minimalizátor), pokud pro každého ${ displaystyle x v S}$ jeden má ${ displaystyle f (x) -f ({ bar {x}}) ne v - operatorname {int} C}$.
• ${ displaystyle { bar {x}} v S}$ je efektivní bod (minimalizátor), pokud pro každého ${ displaystyle x v S}$ jeden má ${ displaystyle f (x) -f ({ bar {x}}) ne v -C zpětné lomítko {0 }}$.
• ${ displaystyle { bar {x}} v S}$ je správně efektivní bod (správný minimalizátor), pokud ${ displaystyle { bar {x}}}$ je slabě efektivní bod s ohledem na a Zavřeno špičatý konvexní kužel ${ displaystyle { tilde {C}}}$ kde ${ displaystyle C zpětné lomítko {0 } subseteq operatorname {int} { tilda {C}}}$.

Každý správný minimalizátor je minimalizátor. A každý minimalizátor je slabý minimalizátor.^[1]

Koncepty moderních řešení se skládají nejen z pojmů minimality, ale také berou v úvahu infimum dosažení.^[2]

Metody řešení

• Bensonův algoritmus pro lineární problémy s vektorovou optimalizací.^[2]

Vztah k vícecílové optimalizaci

Libovolný problém s optimalizací více cílů lze zapsat jako

${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {d} operatorname {-} min _ {x v M} f (x)}$

kde ${ displaystyle f: X to mathbb {R} ^ {d}}$ a ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ je nezáporný orthant z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Tudíž minimalizátor tohoto problému s optimalizací vektorů je Pareto efektivní bodů.

Reference