Horně konvekční časová derivace - Upper-convected time derivative

v mechanika kontinua, počítaje v to dynamika tekutin, an horně konvekční časová derivace nebo Oldroydův derivát, pojmenoval podle James G. Oldroyd, je rychlost změny některých tenzor vlastnost malé části tekutiny, která je zapsána v souřadnicovém systému rotujícím a protahujícím se s tekutinou.

Operátor je určen následujícím vzorcem:

${displaystyle {stackrel {riangledown} {mathbf {A}}} = {frac {D} {Dt}} mathbf {A} - (abla mathbf {v}) ^ {T} cdot mathbf {A} -mathbf {A} cdot (abla mathbf {v})}$

kde:

• ${displaystyle {stackrel {riangledown} {mathbf {A}}}}$ je horní konvekční časová derivace tenzoru pole ${displaystyle mathbf {A}}$
• ${displaystyle {frac {D} {Dt}}}$ je substantivní derivát
• ${displaystyle abla mathbf {v} = {frac {částečné v_ {j}} {částečné x_ {i}}}}$ je tenzor rychlost deriváty pro tekutinu.

Vzorec lze přepsat jako:

${displaystyle {stackrel {riangledown} {A}} _ {i, j} = {frac {částečné A_ {i, j}} {částečné t}} + v_ {k} {frac {částečné A_ {i, j}} {částečné x_ {k}}} - {frac {částečné v_ {i}} {částečné x_ {k}}} A_ {k, j} - {frac {částečné v_ {j}} {částečné x_ {k}}} A_ {i, k}}$

Podle definice horní konvekční časová derivace Tenzor prstů je vždy nula.

Je možné ukázat, že horní konvekční časová derivace vesmírného vektorového pole je jen jeho Derivát lži rychlostním polem kontinua.^[1]

Horní konvekční derivát je široce používán v polymer reologie pro popis chování a viskoelastický tekutina pod velkými deformacemi.

Příklady pro symetrický tenzor A

Jednoduché stříhání

Pro případ jednoduchý střih:

${displaystyle abla mathbf {v} = {egin {pmatrix} 0 & 0 & 0 {dot {gamma}} & 0 & 0 0 & 0 & 0end {pmatrix}}}$

Tím pádem,

${displaystyle {stackrel {riangledown} {mathbf {A}}} = {frac {D} {Dt}} mathbf {A} - {dot {gamma}} {egin {pmatrix} 2A_ {12} & A_ {22} & A_ { 23} A_ {22} & 0 & 0 A_ {23} & 0 & 0end {pmatrix}}}$

Jednoosé prodloužení nestlačitelné tekutiny

V tomto případě je materiál roztažen ve směru X a komprimuje ve směrech Y a Z, aby udržoval konstantní objem. Gradienty rychlosti jsou:

${displaystyle abla mathbf {v} = {egin {pmatrix} {dot {epsilon}} & 0 & 0 0 & - {frac {dot {epsilon}} {2}} & 0 0 & 0 & - {frac {dot {epsilon}} {2} } konec {pmatrix}}}$

Tím pádem,

${displaystyle {stackrel {riangledown} {mathbf {A}}} = {frac {D} {Dt}} mathbf {A} - {frac {dot {epsilon}} {2}} {egin {pmatrix} 4A_ {11} & A_ {21} & A_ {31} A_ {12} & - 2A_ {22} & - 2A_ {23} A_ {13} & - 2A_ {23} & - 2A_ {33} end {pmatrix}}}$

Viz také

• Horně konvekovaný model Maxwell

Reference

• Macosko, Christopher (1993). Reologie. Principy, měření a aplikace. Vydavatel VCH. ISBN  978-1-56081-579-2.

Poznámky